Сплошной однородный диск радиуса R = 10 см и массы m=100 г катится горизонтальной поверхностью. Какую минимальную скорость должен иметь диск, чтобы он поднялся на горку высотой h= 20 см?
Ответы
Ответ:
Для того, щоб диск піднявся на горку, його потенційна енергія повинна бути не менше, ніж потенційна енергія тіла, яке знаходиться на вершині горки. Потенціальна енергія тіла залежить від його маси і висоти, на якій воно знаходиться. Отже, для того, щоб диск піднявся на горку, його кінетична енергія повинна бути не менше, ніж потенційна енергія тіла, яке знаходиться на вершині горки.
Кінетична енергія диска складається з двох частин: кинетичної енергії поступательного руху і кинетичної енергії обертального руху.
Кінетична енергія поступательного руху диска дорівнює:
```
E_k = 1/2 * m * v^2
```
де m - маса диска, v - швидкість диска.
Кінетична енергія обертального руху диска дорівнює:
```
E_k = 1/2 * I * w^2
```
де I - момент інерції диска, w - кутова швидкість диска.
Момент інерції диска дорівнює:
```
I = m * R^2 / 2
```
Кутову швидкість диска можна обчислити за формулою:
```
w = v / R
```
Підставляючи ці формули в рівняння для кінетичної енергії обертального руху, отримуємо:
```
E_k = 1/2 * m * R^2 * (v / R)^2
```
```
E_k = 1/4 * m * v^2
```
Отже, загальна кінетична енергія диска дорівнює:
```
E_k = 1/2 * m * v^2 + 1/4 * m * v^2 = 3/4 * m * v^2
```
Ця кінетична енергія повинна бути не менше, ніж потенційна енергія тіла, яке знаходиться на вершині горки, тобто не менше, ніж mgh:
```
3/4 * m * v^2 >= mgh
```
```
v^2 >= 4 * mgh / 3m
```
```
v^2 >= 4gh / 3
```
```
v >= 2 * sqrt(gh) / sqrt(3)
```
де g - прискорення вільного падіння, рівне 9,8 м/с^2.
У нашому випадку h = 20 см = 0,2 м, m = 100 г = 0,1 кг, R = 10 см = 0,1 м. Підставляючи ці значення в отримане рівняння, отримуємо:
```
v >= 2 * sqrt(0,2 * 9,8) / sqrt(3)
```
```
v >= 2 * 1,414 / sqrt(3)
```
```
v >= 2,828 / 1,732
```
```
v >= 1,6
```
Отже, **минимальная скорость диска должна быть не менее 1,6 м/с**.
Відповідь: 1,6 м/с