Question

Найдите все простые числа p и q такие, что p + q = (p – q)³.
​

Answer 1

Ответ:

p = 5, q = 3

Объяснение:

Пускай p = q + x.

Тогда получим 2q + x = x^3, откуда q = (x^3 - x)/2.

Однако, x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x-1)(x+1). А чтобы (x^3 - x)/2 было простым числом, x^3 - x должно иметь всего 2 множителя - 2 и q.

Следовательно, либо одно и чисел x-1, x, x+1 равно 1, либо эти числа равны 2, q и 2q.

Поскольку х натуральное число, а 1 - найменьшее натуральное число, то 1 = х - 1 и x = 2.

В этом случае, получаем q = 3, и это работает: p = 5, q = 3 действительно являются парой таких чисел.

Второй случай невозможен: поскольку найменьшее простое число это 2, то 2q > q > 2. Следовательно, получаем q = 3, 2q = 4. Однако это неправда.

Следовательно, единственная пара таких чисел это p = 5, q = 3.

P. S. Делал очень долго))