Вычислить объем тела полученного при вращении вокруг оси Ох трапеции, образованной прямыми у = 0,5x, x = 4, x=6 и осью абсцисс.
Ответы
Ответ:
Для вычисления объема тела, полученного при вращении трапеции вокруг оси Ох, мы можем использовать метод цилиндров по методу заключения.
Сначала найдем функцию, описывающую верхнюю границу трапеции.
У нас есть две прямые: y = 0.5x и x = 4.
Поскольку x = 4 - вертикальная прямая, она будет служить верхней границей трапеции.
Теперь мы можем записать функцию, описывающую верхнюю границу трапеции: y = 4.
Теперь найдем функцию, описывающую нижнюю границу трапеции.
У нас есть еще одна прямая: x = 6.
Поскольку x = 6 - еще одна вертикальная прямая, она будет служить нижней границей трапеции.
Теперь мы можем записать функцию, описывающую нижнюю границу: y = 0.
Теперь, чтобы найти объем тела, полученного при вращении трапеции вокруг оси Ох, нам нужно найти определенный интеграл от квадрата разности функций верхней и нижней границ по оси х на интервале [4, 6].
V = ∫[4,6]((4 - 0)^2 - (0 - 0.5x)^2)dx
V = ∫[4,6](16 - 0.25x^2)dx
V = ∫[4,6](-0.25x^2 + 16)dx
Вычислим этот интеграл.
V = [-0.25 * x^3/3 + 16 * x] от 4 до 6
V = [(-0.25 * (6^3/3) + 16 * 6) - (-0.25 * (4^3/3) + 16 * 4)]
V = [(-0.25 * 72 + 96) - (-0.25 * 64 + 64)]
V = [-18 + 96 - (-16 + 64)]
V = [78]
Таким образом, объем тела, полученного при вращении трапеции вокруг оси Ох, равен 78 кубическим единицам.