Question

срочно!! даю 50 монет!!
(x ^ 4 + 3x ^ 3 + 4x ^ 2 - 8)/(x ^ 2) < 0
​

Answer 1

Ответ:

Решить неравенство     $\bf \dfrac{x^4+3x^3+4x^2-8}{x^2} < 0$   .

Разложим на множители числитель .

При подстановке х=1 в числитель , получаем 0 , поэтому х=1 - корень многочлена , и многочлен делится нацело на разность  ( х - 1 )  .

     $\bf {}\ \ \ \ x^4+3x^3+4x^2-8\ \ \ \ \ |\ x-1\\-(x^4-x^3)\qquad \qquad \qquad -----------\\---------\quad \ \quad \quad x^3+4x^2+8x+8\\{}\qquad \ 4x^3+4x^2-8\\{}\quad -(4x^3-4x^2)\\{}\ \ \ ---------\\{}\qquad \qquad \qquad 8x^2-8\\{}\qquad \ \quad \quad -(8x^2-8x)\\{}\qquad \quad \quad --------\\{}\qquad \qquad \qquad \qquad 8x-8\\{}\qquad \qquad \qquad \ \, -(8x-8)\\{}\qquad \qquad \quad \quad -------\\{}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 0$                

При подстановке х= -2 в многочлен  x³+4x²+8x+8  , получаем 0 ,

поэтому х= -2 - корень многочлена , и многочлен делится нацело на

разность  ( х - (- 2) ) = ( x + 2 )  .  

$\bf {}\ \ \ \ \ x^3+4x^2+8x+8\ \ |\ x+2\\{}-(x^3+2x^2)\qquad \qquad \ --------\\{}--------\qquad \quad x^2+2x+4\\{}\ \ \ \ 2x^2+8x+8\\{}-(2x^2+4x)\\{}\ --------\\{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4x+8\\{}\qquad \ -(4x+8)\\{}\ \ \ \ \ \ -------\\{}\qquad \qquad \qquad 0$  

Многочлен  $\bf x^2+2x+4 > 0$   при любых значениях  х  , и он не раскладывается на множители , так как

$\bf x^2+2x+4=\underbrace{\bf (x+1)^2}_{\geq 0}+3\geq 3 > 0$      

Значит , числитель раскладывается на множители следующим

образом :   $\bf x^4+3x^3+4x^2-8=(x-1)(x+2)(x^2+2x+4)$  .

Неравенство перепишем в виде  

$\bf \dfrac{(x-1)(x+2)(x^2+2x+4)}{x^2} < 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{(x-1)(x+2)}{x^2} < 0$  

Решаем методом интервалов .

Знаки функции  :    $\bf +++(-2)---(0)---(1)+++$        

Выбираем интервалы, где записаны знаки минус .

Ответ:   $\bf x\in (-2\ ;\ 0\ )\cup (\ 0\ ;\ 1\ )$  .