Question

как обьяснить почему при нахождении области определения ф-ии мы можем раскрывать модуль??

приведу конкретный пример:
$y = \sqrt{ |2 -x | - 3x }$
т.к. корень из отриц. числа не извлекается мы делаем вывод , что
$|2 - x| - 3x \geqslant 0$
теперь необходимо раскрыть модуль, но почему мы можем это сделать?? и можем ли вообще? обьясните пж, вообще не догоняю

​

Answer 1

Ответ:

$D(y)=\left(-\infty;\ \dfrac{1}{2} \right]$

Решение:

Рассмотрим функцию:

$y=\sqrt{|2-x|-3x}$

Для нахождения области определения функции нужно решить верно составленное в условии неравенство:

$|2-x|-3x\geqslant 0$

Почему можем раскрыть модуль? Вообще, модуль можно раскрыть всегда и везде, пользуясь хотя бы его определением, а возможно и другими подходящими свойствами. По определению, модуль числа равен самому этому числу, если оно неотрицательное, и противоположному числу в противном случае.

В данной конкретной задаче мы должны решить неравенство, содержащее переменную под знаком модуля. Это само по себе подразумевает, что модуль каким-то образом должен быть раскрыт, ведь нам нужно получить некоторое условие просто на переменную $x$, а не на заданное выражение с модулем.

Раскрываем модуль, используя его определение. Рассмотрим два случая.

1) Пусть подмодульное выражение - неотрицательно. То есть:

$2-x\geqslant 0$

$\underline{x\leqslant 2}$

В этом случае модуль раскрывается без смены знака:

$(2-x)-3x\geqslant 0$

$2-x-3x\geqslant 0$

$-4x\geqslant -2$

$4x\leqslant 2$

$\underline{x\leqslant \dfrac{1}{2}}$

Нужно не забыть учесть условие раскрытие модуля. То есть составить и решить систему:

$\begin{cases} x\leqslant 2 \\ x\leqslant \dfrac{1}{2} \end{cases}$

$\boxed{x\leqslant \dfrac{1}{2} }$

2) Пусть подмодульное выражение - отрицательно. То есть:

$2-x < 0$

$\underline{x > 2}$

В этом случае модуль раскрывается со сменой знака:

$-(2-x)-3x\geqslant 0$

$-2+x-3x\geqslant 0$

$-2x\geqslant 2$

$2x\leqslant -2$

$\underline{x\leqslant -1}$

Вновь учтем условие раскрытие модуля:

$\begin{cases} x > 2 \\ x\leqslant -1\end{cases}$

Такая система не имеет решений. Значит, этот случай не дает решений:

$\boxed{x\in \varnothing}$

3) Остается объединить решения, найденные в 1 и 2 пункте. Так как решений во втором пункте нет, то итоговое решение совпадает с решением первого пункта. Но строго говоря, в этом пункте составляется и решается следующая совокупность:

$\left[\begin{array}{l} x\leqslant \dfrac{1}{2} \\ x\in \varnothing \end{array}\right.$

$x\leqslant \dfrac{1}{2}$

Таким образом, область определения функции:

$\boxed{D(y)=\left(-\infty;\ \dfrac{1}{2} \right]}$

Элементы теории:

Модуль числа:

$|a|=\begin{cases} a,\ a\geqslant 0 \\ -a,\ a < 0 \end{cases}$