Написати рівняння нормалі до кривої x^4+y^4=4x^2 y^2 +1 в точці А(1; 2)
Ответы
Ответ:
Щоб знайти рівняння нормалі до кривої x^4 + y^4 = 4x^2 y^2 + 1x
4
+y
4
=4x
2
y
2
+1 в точці A(1, 2)A(1,2), скористаємося властивістю нормалі, яка перпендикулярна до касательної.
Знайдемо часткові похідні першого порядку кривої за xx та yy:
\frac{dy}{dx} = -\frac{x^3(4y^2 - 4x^2)}{4y^3 - 4x^2y}
dx
dy
=−
4y
3
−4x
2
y
x
3
(4y
2
−4x
2
)
Знайдемо відомий градієнт у точці A(1, 2)A(1,2):
\frac{dy}{dx}\Bigg|_{(1,2)} = -\frac{1^3(4(2)^2 - 4(1)^2)}{4(2)^3 - 4(1)^2(2)} = -\frac{8}{12} = -\frac{2}{3}
dx
dy
∣
∣
(1,2)
=−
4(2)
3
−4(1)
2
(2)
1
3
(4(2)
2
−4(1)
2
)
=−
12
8
=−
3
2
Запишемо рівняння нормалі в точці A(1, 2)A(1,2) у вигляді:
y - y_1 = m(x - x_1)y−y
1
=m(x−x
1
)
де mm - відомий градієнт, x_1x
1
і y_1y
1
- координати точки A(1, 2)A(1,2).
Підставимо відомі значення:
y - 2 = -\frac{2}{3}(x - 1)y−2=−
3
2
(x−1)
Отже, рівняння нормалі до кривої x^4 + y^4 = 4x^2 y^2 + 1x
4
+y
4
=4x
2
y
2
+1 в точці A(1, 2)A(1,2) є:
y = -\frac{2}{3}(x - 1) + 2y=−
3
2
(x−1)+2