Question

Розв'яжіть нерівность y^2-4y<12

Answer 1

Для решения этого неравенства приведем его к квадратному виду:

$\[y^2 - 4y - 12 < 0\]$

Это квадратное неравенство, которое можно решить через нахождение корней соответствующего квадратного уравнения. Решим уравнение:

$\[y^2 - 4y - 12 = 0\]$

Это уравнение решается через дискриминант. Найдем дискриминант:

$\[D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64\]$

Так как дискриминант больше нуля, у уравнения есть два корня:

$\[y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{4 \pm 8}{2} = > y_{1} = 6, \;\;y_{2} =-2.\]$

Теперь, зная корни уравнения, мы можем найти решение исходного неравенства. Корни делят числовую прямую на три интервала. Подставим в неравенство число из каждого интервала и определим знак неравенства:

1) $\(y < -2\): \((-2)^2 - 4 \cdot (-2) - 12 = 4 + 8 - 12 = 0\)$, значит, при y < -2 неравенство не выполняется.

2) $\(-2 < y < 6\): \(0^2 - 4 \cdot 0 - 12 = -12 < 0\)$, значит, при -2 < y < 6 неравенство выполняется.

3) $\(y > 6\): \(7^2 - 4 \cdot 7 - 12 = 49 - 28 - 12 = 9 > 0\)$, значит, при y > 6 неравенство не выполняется.

Таким образом, решением неравенства является интервал -2 < y < 6, или же y ∈ (-2; 6).