Question

обчислити об'єм тіла утвореного обертанням навколо осі х фігури, обмеженої дугою кола х² + y² = 16, яка лежить у першій чверті, та прямими x = 1, x = 3, y = 0

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle V=\frac{70\pi }{3}$

Пошаговое объяснение:

Формула  объема тела, образованного вращением вокруг оси х кривой y(x)

$\displaystyle V=\pi \int\limits^a_b {y^2(x)} \, dx$

Делаем чертеж. Определяемся с границами интегрирования

а = 1;  b=3;

Находим y²(x)

х² + y² = 16   ⇒   y² = 16- х²

И теперь считаем интеграл

$\displaystyle V=\pi \int\limits^3_1 {(16-x^2)} \, dx=\pi \bigg(16 \int\limits^3_1 {} \, dx - \int\limits^3_1 {x^2} \, dx\bigg) =\pi \bigg(16x\bigg|_1^3-\frac{x^3}{3} \bigg|_1^3\bigg)=\\\\\\=\pi \bigg(32-\frac{26}{3} \bigg)=\frac{70\pi }{3}$