Question

A(5;3;6), B(-3;-4;-5), C(7;-6;8), D(4;0;-9)

Вершинами пирамиды являются A(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2), C(x3:y3;z3) и D(x4:y4:z4). Вычислите: а) АВ; б) ВС•ВD б) Ѕ/_авс; в) VABCD

Answer 1

а) Для нахождения вектора AB (от A до B) вычтем координаты точки A из координат точки B:

AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) = (-3 - 5, -4 - 3, -5 - 6) = (-8, -7, -11)

b) Для нахождения скалярного произведения BC и BD умножим соответствующие компоненты векторов:

BC•BD = (x3 - x2, y3 - y2, z3 - z2) • (x4 - x2, y4 - y2, z4 - z2) = (7 - (-3), -6 - (-4), 8 - (-5)) • (4 - (-3), 0 - (-4), -9 - (-5)) = (10, -2, 13) • (7, 4, -4) = 10*7 + (-2)4 + 13(-4) = 70 - 8 - 52 = 10

c) Для нахождения угла между векторами BC и BD воспользуемся формулой для косинуса угла между векторами:

cos(∠BCD) = (BC•BD) / (|BC| * |BD|)

где |BC| и |BD| - длины векторов BC и BD, которые можно найти используя формулу длины вектора: |v| = √(x^2 + y^2 + z^2).

Для BC:
|BC| = √(10^2 + (-2)^2 + 13^2) = √(100 + 4 + 169) = √273

Для BD:
|BD| = √(7^2 + 4^2 + (-4)^2) = √(49 + 16 + 16) = √81 = 9

Теперь вычислим cos(∠BCD):

cos(∠BCD) = (10) / (√273 * 9)

d) Объем пирамиды VABCD можно найти, используя формулу для объема пирамиды, который равен одной трети произведения площади основания и высоты. Основание пирамиды ABCD - это параллелограмм, поэтому площадь его можно найти как площадь прямоугольника ABDC:

Площадь ABCD = |AB| * |BC| * sin(∠ABC)

где |AB| - длина вектора AB, |BC| - длина вектора BC, ∠ABC - угол между векторами AB и BC.

Теперь вычислим объем VABCD:

VABCD = (Площадь ABCD * |BD|) / 3

Для того чтобы вычислить VABCD, нам нужно также найти sin(∠ABC) и площадь ABCD.

Answer 2

а) Вектор AB (A(x1;y1;z1) к B(x2;y2;z2)) можно найти вычтя координаты точки A из координат точки B:

AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) = (-3 - 5, -4 - 3, -5 - 6) = (-8, -7, -11)

б) Векторное произведение векторов BC и BD (B(x2;y2;z2) к C(x3:y3;z3) и B к D(x4:y4:z4)) можно вычислить следующим образом:

BC x BD = [(y2 - y3)(z2 - z4) - (z2 - z3)(y2 - y4), (z2 - z3)(x2 - x4) - (x2 - x3)(z2 - z4), (x2 - x3)(y2 - y4) - (y2 - y3)(x2 - x4)]
= [(-4 - (-6))(-5 - (-9)) - (-5 - 8)(-4 - 0), (-5 - 8)(7 - 4) - (7 - (-3))(-5 - (-9)), (-3 - (-6)(-4 - 0)) - (-4 - (-6))(-5 - (-5))]
= [2*(-5 + 9) - (-13)(-4), (-13)(3) - (10)(4), 3*(-4) - (-2)*0]
= [8 - 52, -39 - 40, -12]
= [-44, -79, -12]

в) Чтобы найти угол между векторами AB и BC (назовем его угол θ), используем скалярное произведение векторов AB и BC:

AB • BC = |AB| * |BC| * cos(θ)

где |AB| и |BC| - длины векторов AB и BC, а cos(θ) - косинус угла между векторами.

|AB| = √((-8)^2 + (-7)^2 + (-11)^2) = √(64 + 49 + 121) = √234
|BC| = √((7 - (-3))^2 + (-6 - (-4))^2 + (8 - (-5))^2) = √(10^2 + 2^2 + 13^2) = √193

AB • BC = |AB| * |BC| * cos(θ)
-44 * (-44,83) = √234 * √193 * cos(θ)
1963,32 = √234 * √193 * cos(θ)

cos(θ) = 1963,32 / (√234 * √193)

θ = arccos(1963,32 / (√234 * √193))

в) Объем пирамиды VABCD можно найти, используя формулу для объема пирамиды:

V = (1/6) * |AB • BC|

где |AB • BC| - модуль векторного произведения векторов AB и BC, который мы уже вычислили в б).

V = (1/6) * |AB • BC| = (1/6) * |(-44, -79, -12)| = (1/6) * √(44^2 + 79^2 + 12^2) = (1/6) * √(19345)

Таким образом, объем пирамиды VABCD равен (1/6) * √19345.