Question

f(x) = x + 4/x можете решить поэтапно? а именно найти максимальную/минимальную функцию?

Мой учитель ответил так, но моя подруга говорит что её репетитор сказал что нельзя переносить 4/х² на другую сторону, это так или нет?
​

Answer 1

Ответ:

x₁ = 2 - точка локального минимума

x₂ = (-2) - точка локального максимума.

Пошаговое объяснение:

Вот смотрите. Ничего никуда переносить не будем. путь трудоемкий, но он покажет точки экстремума. (так делать не рекомендуется, но это, чтобы Вы поняли, какой должен быть ответ)

Найдем производную и приравняем ее к 0.

Дробь равна 0, если числитель дроби = 0, знаменатель по определению ≠ 0

$\displaystyle f(x) = x+\frac{4}{x} \\\\\\f(x) = \frac{x^2+4}{x} \\\\\\\bigg(\frac{u(x)}{v(x)} \bigg)'=\frac{u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)}{y} \\\\\\\bigg(\frac{x^2+4}{x} \bigg)'=\frac{(x^2+4)'*x-(x^2+4)*x'}{x^2} =\frac{2x^2-x^2-4}{x^2} =\frac{x^2-4}{x^2}$

$\displaystyle \frac{x^2-4}{x^2} =0; \qquad x\neq 0\\\\x^2-4=0\\\\x^2=4\quad \Rightarrow \quad x_{1}=2;\;\; x_2=-2$

Это стационарные точки.

мы получили 4 промежутка.

Как ведет себя производная на этих промежутках?

(-∞; -2]   f'(x) > 0  (функция возрастает - хотя здесь в задаче и не требуются интервалы возрастания, но нам все равно надо, чтобы определить, где минимум, а где максимум)

[-2; 0)  f'(x) < 0 (функция убывает)

(0; 2]  f'(x) < 0 (функция убывает)

[2; +∞)  f'(x) > 0  (функция возрастает)

Таким образом, мы видим, что в окрестности точки x₂ = (-2) производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x₂ = (-2) - точка локального максимума.

В окрестности точки x₁ = 2 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x₁ = 2 - точка локального минимума.

Можно еще, конечно, определять минимум и максимум при помощи второй производной, но тут проще вот так.

График прилагается.