Расстояние от центра гипотенузы до одного из катетов прямоугольного треугольника равно 5, а расстояние от середины этого катета до гипотенузы равно 4. Найдите площадь треугольника.
Ответы
Ответ:
Δ АВС , ∠С =90° , М - середина АВ , то есть АМ = ВМ .
МН ⊥ ВС , МН = 5 см .
Расстояние от середины катета ВС до гипотенузы АВ равно 4 см .
Найти площадь Δ АВС .
Так как МН ⊥ ВС , то ∠МНВ = 90° .
Но и катет АС ⊥ ВС . Значит МН || АС , а так как М - середина АВ , то
точка Н - середина ВС . По условию из середины катета ВС , то есть
из точки Н , провели перпендикуляр на АВ , НК ⊥ АВ , НК = 4 см .
Получили , что МН - средняя линия Δ АВС , МН || АС ⇒ АС = 2*МН ,
АС = 2*5=10 (см)
Проведём из вершины прямого угла С перпендикуляр к гипотенузе АВ , СР ⊥ АВ .
Рассмотрим Δ СВР , ∠СРВ = 90° . В этом треугольнике НК ⊥ АВ , а
значит НК || СР и Н - середина ВС , значит НК - средняя линия
Δ СВР , ⇒ СР = 2*НК , СР = 2*4=8 (см)
Рассмотрим Δ АСР , ∠АРС = 90° . По теореме Пифагора найдём АР
АР = √(АС²-СР²) =√(10²-8²) =√36 = 6 (см)
По теореме о высоте, проведённой из вершины прямого угла имеем
СР² = АР * ВР ⇒ 8² = 6 * ВР , ВР = 64 : 6 = 32/3
АВ = АР + ВР = 6 + 32/3 = 50/3 (см)
Площадь найдём по формуле
S= 1/2 * AB * CP = 1/2 * 50/3 * 8 = 200/3 = 66 и 2/3 (cм²)
