Question

Знайти границі послідовностей.

Answer 1

Ответ:

Найти пределы .

1) Неопределённость вида  [ ∞ - ∞ ]  .

$\bf \lim\limits _{x \to \infty}\Big(\dfrac{x^3}{x^2+4}-\dfrac{1+x^2}{x+5}\Big)=[\infty -\infty ]=\lim\limits _{x \to \infty}\dfrac{x^4+5x^3-x^2-4-x^4-4x^2}{(x^2+4)(x+5)}=\\\\\\=\lim\limits _{x \to \infty}\ \dfrac{5x^3-5x^2-4}{x^3+5x^2+4x+20}=\Big[\dfrac{\infty }{\infty }\Big]=\lim\limits _{x \to \infty}\, \dfrac{5x^3}{x^3}=5$  

2) Неопределённость вида  [ 0/0 ]  .

$\bf \lim\limits _{x \to 0}\dfrac{cos3x-1}{x\cdot tg\, 2x}=\Big[\dfrac{0}{0}\Big]\lim\limits _{x \to 0}\dfrac{-2\, sin^2(1,5x)}{x\cdot 2x}=\lim\limits _{x \to 0}\dfrac{-2\cdot (1,5x)^2}{2x^2}=\\\\\\=\lim\limits _{x \to 0}\dfrac{-2\cdot 2,25x^2}{2x^2}=-2,25\\\\\\\star \ \ tg\alpha (x)\sim \alpha (x)\ \ ,\ \ sin\alpha (x)\sim \alpha (x)\ \ ,\ \ \alpha (x)\to 0\ \ ;\ \ 2\, sin^2\alpha =1-cos2\alpha \ \ \star$