Question

Помогите пожалуйста |sin x| + |cos x| < 1

Answer 1

Ответ:Для розв'язання нерівності |sin x| + |cos x| < 1 можна розглянути кілька випадків.

1. Коли sin x ≥ 0 і cos x ≥ 0:

У цьому випадку нерівність перетворюється на sin x + cos x < 1. Це можна спростити, використовуючи тригонометричні тотожності: sin x + cos x = √2 * sin (x + π/4). Тому нерівність можна записати як √2 * sin (x + π/4) < 1. Щоб знайти діапазон значень x, потрібно розв'язати нерівність sin (x + π/4) < 1/√2. Завдяки періодичності синуса, розв'язками будуть значення x, для яких (x + π/4) знаходиться в межах (-π/2, π/2). Тобто, -π/2 < x + π/4 < π/2. Виключаючи π/4, отримуємо -3π/4 < x < -π/4 або -π/4 < x < π/4.

2. Коли sin x ≥ 0 і cos x < 0:

У цьому випадку нерівність перетворюється на sin x - cos x < 1. Знову використовуючи тригонометричні тотожності, отримуємо √2 * sin (x - π/4) < 1. Щоб знайти діапазон значень x, потрібно розв'язати нерівність sin (x - π/4) < 1/√2. Завдяки періодичності синуса, розв'язками будуть значення x, для яких (x - π/4) знаходиться в межах (-π/2, π/2). Тобто, -π/2 < x - π/4 < π/2. Виключаючи -π/4, отримуємо -π/2 < x < π/4.

3. Коли sin x < 0 і cos x ≥ 0:

У цьому випадку нерівність також перетворюється на sin x - cos x < 1. Знову використовуючи тригонометричні тотожності, отримуємо √2 * sin (x - π/4) < 1. Щоб знайти діапазон значень x, потрібно розв'язати нерівність sin (x - π/4) < 1/√2. Завдяки періодичності синуса, розв'язками будуть значення x, для яких (x - π/4) знаходиться в межах (π/2, 3π/2). Тобто, π/2 < x - π/4 < 3π/2. Виключаючи π/4, отримуємо π/4 < x < 3π/4.

4. Коли sin x < 0 і cos x < 0:

У цьому випадку нерівність також перетворюється на sin x + cos x < 1. Знову використовуючи тригонометричні тотожності, отримуємо √2 * sin (x + π/4) < 1. Щоб знайти діапазон значень x, потрібно розв'язати нерівність sin (x + π/4) < 1/√2. Завдяки періодичності синуса, розв'язками будуть значення x, для яких (x + π/4) знаходиться в межах (π/2, 3π/2). Тобто, π/4 < x + π/4 < 3π/4. Виключаючи -π/4, отримуємо -π/4 < x < 3π/4.

Отже, розв'язками нерівності |sin x| + |cos x| < 1 є:

-3π/4 < x < -π/4,

-π/2 < x < π/4,

π/4 < x < 3π/4.

Объяснение: