Задані координати вершин піраміди A(-1;-2;1), B(-4;-2;5), C(-8;-2;2), D(5;0;1).
Знайти:
1) довжину ребра ВС;
2) косинус кута між ребрами АВ і АС, ВС і ВD;
3) площу граней АВС, ВСD;
4) висоту грані АВС, яка проведена з вершини А;
5) об`єм трикутної піраміди з вершинами у точках A,B,C,D;
6) висоту трикутної піраміди, яка проведена з вершини С на грань ABD.
Ответы
Ответ:
Для вирішення цих завдань, розглянемо кожен пункт окремо:
1) Довжина ребра ВС:
Використовуємо відому формулу відстані між двома точками в тривимірному просторі:
ВС = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)
ВС = √((-8 - (-4))² + (-2 - (-2))² + (2 - 5)²)
ВС = √((-4)² + 0² + (-3)²)
ВС = √(16 + 9)
ВС = √25
ВС = 5 одиниць.
2) Косинус кута між ребрами АВ і АС, ВС і ВD:
Використовуємо формулу косинусу кута між векторами:
cos(θ) = (AB · AC) / (||AB|| * ||AC||)
AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁) = (-4 - (-1), -2 - (-2), 5 - 1) = (-3, 0, 4)
AC = (x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ - z₁) = (-8 - (-1), -2 - (-2), 2 - 1) = (-7, 0, 1)
AB · AC = (-3 * -7 + 0 * 0 + 4 * 1) = 21 + 0 + 4 = 25
||AB|| = √((-3)² + 0² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
||AC|| = √((-7)² + 0² + 1²) = √(49 + 1) = √50
cos(θ) = 25 / (5 * √50) = 25 / (5√2) = 5 / √2
Аналогічно, можна знайти косинус кута між ВС і ВD, використовуючи відповідні вектори і обчислений кут між ними.
3) Площа граней АВС, ВСD:
Площа грані може бути знайдена за допомогою площі трикутника. Грань АВС - це трикутник із вершинами в точках A, B і C. Площу можна знайти за допомогою півпериметру та формули Герона:
AB = √((-4 - (-1))² + (-2 - (-2))² + (5 - 1)²) = √(9 + 0 + 16) = √25 = 5
AC = √((-8 - (-1))² + (-2 - (-2))² + (2 - 1)²) = √(49 + 0 + 1) = √50
BC = √((-8 - (-4))² + (-2 - (-2))² + (2 - 5)²) = √(16 + 0 + 9) = √25 = 5
Півпериметр (s) = (AB + AC + BC) / 2 = (5 + √50 + 5) / 2
Площа грані АВС за формулою Герона:
S(АВС) = √(s * (s - AB) * (s - AC) * (s - BC))
Аналогічно, можна знайти площу грані ВСD, яка є трикутником зі сторонами ВС, ВD і CD.
4) Висота грані АВС, яка проведена з вершини А:
Висоту грані можна знайти, використовуючи площу грані та довжину відповідного бічного ребра. Висота грані АВС проведена з вершини А і вон
а проводиться на ВС, тобто вона є бічною стороною трикутника. Площа грані АВС (S(АВС)) була обчислена в пункті 3, і довжина ребра ВС (BC) була знайдена раніше.
Висота (h) може бути знайдена за формулою площі трикутника:
S(АВС) = (1/2) * BC * h
h = (2 * S(АВС)) / BC
Аналогічно, можна знайти висоту грані ВСD, проведену з вершини C на ребро ВD.
5) Об'єм трикутної піраміди:
Об'єм трикутної піраміди може бути знайдений, використовуючи площу однієї з граней та її висоту від вершини піраміди. Ви вже знайшли площу грані АВС (S(АВС)) та висоту грані АВС (h) у пункті 4.
Об'єм трикутної піраміди:
V = (1/3) * S(АВС) * h
Аналогічно, можна знайти об'єм трикутної піраміди BCD, використовуючи площу грані BCD та відповідну висоту.
6) Висота трикутної піраміди, проведена