У гострокутному трикутнику ABC висоти перетинаються у точці Н. Довести, що радіуси кіл, описаних навколо трикутників ABC, АНВ, АНС, ВНС, рівні між собою
Ответы
Покрокове пояснення:
Для доведення цього підтвердження спочатку розглянемо трикутник ABC і окреслимо його коло.
За відомим фактом, радіус описаного кола трикутника ABC позначаємо як R, і він фактично формулою:
R = a / (2 * sin(A)),
де "a" - довжина сторони BC, "A" - великий кут при вершині A.
Тепер розглянемо трикутник АНВ. Радіус описаного навколо нього кола позначаємо як R₁, і він також збільшується за подібною формулою:
R₁ = b / (2 * sin(B)),
де "b" - довжина сторони AC, "B" - великий кут при вершині B.
Аналогічно розглядаємо трикутник АНС. Радіус описаного навколо нього кола позначається як R₂:
R₂ = c / (2 * sin(C)),
де "c" - довжина сторони AB, "C" - великий кут при вершині C.
Розглядаємо також трикутник ВНС. Радіус, описаний навколо його кола, позначається як R₃:
R₃ = h₁ / (2 * sin(A)),
де "h₁" - висота, проведена до сторони BC (від вершини A).
Висота h₁ наступна як h₁ = a * sin(A).
Порівняємо значення радіусів:
R₁ = b / (2 * sin(B)), R₂ = c / (2 * sin(C)), R₃ = a * sin(A) / (2 * sin(A)).
Ми бачимо, що R₁ = b / (2 * sin(B)) = c / (2 * sin(C)) = a * sin(A) / (2 * sin(A)) = R.
Отже, радіуси опису навколо трикутників ABC, АНВ, АНС, ВНС дійсно рівні між собою.