Question

25 БАЛІВ
Використовуючи правило Лопіталя, знайти слідуючі границі​

Answer 1

1. Для першого виразу:

$\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - 1 - x^2}{\sin^6 2x} \]$

Перевіримо умови для застосування правила Лопіталя: при $\( x \to 0 \)$ чисельник і знаменник теж прямують до 0.

Застосовуючи правило Лопіталя, отримаємо:

$\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - 1 - x^2}{\sin^6 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{2xe^{x^2} - 2x}{6\sin^5 2x \cdot 2\cos 2x} \]$

$\[ = \lim_{x \to 0} \frac{x(e^{x^2} - 1)}{12\sin^5 2x \cdot \cos 2x} \]$

Знову обидва вирази прямують до 0 при $\( x \to 0 \)$. Застосовуючи правило Лопіталя знову, отримаємо:

$\[ = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} + x^2e^{x^2} - 1}{60\sin^4 2x \cdot \cos^2 2x - 12\sin^5 2x \cdot \sin 2x} \]$

Щоб знайти цю границю, можна використовувати додаткові методи, але це може бути довгим процесом.

2. Для другого виразу:

$\[ \lim_{x \to 0} (e^x + x)^{\frac{1}{x}} \]$

Це є відомою границею, яка дорівнює $\( e \)$. Проте, якщо ви хочете використовувати правило Лопіталя для доведення цього, це може бути складним завданням.

Отже, для першої границі потребується додаткова робота, а друга границя дорівнює $\( e \)$.