Question

Знайти границі послідовності.

Answer 1

Ответ:

$e^{-3}.$

Объяснение:

 $\lim\limits_{x\to \infty}\left(\dfrac{x^3+2}{x^3-1}\right)^{2x-x^3}=\lim\limits_{x\to \infty}\left(\dfrac{1+\frac{2}{x^3}}{1-\frac{1}{x^3}}\right)^{2x-x^3}=\dfrac{\lim\limits_{x\to \infty}\left(1+\frac{2}{x^3}\right)^{2x-x^3}}{\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x^3}\right)^{2x-x^3}}=\dfrac{\left[1^{\infty}\right]}{[1^{\infty}]}=$

           $=\dfrac{\lim\limits_{x\to\infty}[(1+\frac{2}{x^3})^{x^3/2}]^{\frac{2(2x-x^3)}{x^3}}}{\lim\limits_{x\to\infty}[(1-\frac{1}{x^3})^{-x^3}]^{\frac{x^3-2x}{x^3}}}=\dfrac{e^\lim\limits_{x\to\infty}(\frac{4}{x^2}-2)}{e^{\lim\limits_{x\to \infty}(1-\frac{2}{x^2})}}=\dfrac{e^{-2}}{e}=e^{-3}.$

Мы воспользовались вторым замечательным пределом

                                    $\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=e$ ,

который иначе можно переписать в виде

                                   $\lim\limits_{x\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}=e.$