Дослідити функцію з допомогою першої та другої похідноїя побудувати графік y=-х³+6x²+2.
Даю 50 балів
Ответы
Дано функцію:
y = -x^3 + 6x^2 + 2
Знаходимо першу похідну функції:
y' = -3x^2 + 12x
Перша похідна дорівнює нулю в точках x = 0 і x = 2.
Знаходимо другу похідну функції:
y'' = -6x + 12
Друга похідна позитивна в точках x < 2, а негативна в точках x > 2.
**Відповідно до дослідження функції:**
* Функція має точку максимуму в точці x = 2.
* Функція має горизонтальну асимптоту y = 2.
**Побудова графіка**
За допомогою першої похідної знаходимо точки перетину графіка функції з осями координат:
* y = 0 при x = 0, x = 2.
* x = 0 при y = 2.
За допомогою точки максимуму знаходимо координати вершини параболи:
* (2, 2).
Наносимо точки перетину графіка з осями координат і вершину параболи на координатну площину.
Для побудови графіка функції в межах від -5 до 5, поділяємо цей інтервал на 100 рівних відрізків. Для кожного відрізка знаходимо значення функції і наносимо точку на координатну площину.
Отримуємо такий графік:
[Image of graph of y = -x^3 + 6x^2 + 2]
*Висновок**
Функція y = -x^3 + 6x^2 + 2 є параболою, яка має точку максимуму в точці x = 2. Функція має горизонтальну асимптоту y = 2.