Question

Дано: cos$\alpha$$cosa=\frac{\sqrt{2} }{2} , o \ \textless \ a \ \textless \ \frac{\pi}{2} , sin\beta = -\frac{7}{25} , \pi \ \textless \ \beta \ \textless \ \frac{3\pi }{2}$

Знайти: sin($\alpha$+$\beta$)

Answer 1

Ответ:

Найти   $\bf sin(\alpha +\beta )$  , если  $\bf cos\alpha =\dfrac{\sqrt2}{2}\ \ ,\ \ sin\beta =-\dfrac{7}{25}\ \ ,\ \ 0 < \alpha < \dfrac{\pi }{2}$   ,

$\bf \pi < \beta < \dfrac{3\pi }{2}$   .

Так как угол  α  лежит в 1 четверти , то   $\bf sin\alpha > 0$  ,  поэтому

$\bf sin\alpha =+\sqrt{1-cos^2\alpha }=\sqrt{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$  

Так как угол  β  лежит в 3 четверти , то   $\bf cos\beta < 0$  ,  поэтому

$\bf cos\beta =-\sqrt{1-sin^2\beta }=-\sqrt{1-\dfrac{49}{625}}=-\sqrt\dfrac{576}{625}}=-\dfrac{24}{25}$            

Теперь вычислим синус суммы по формуле :

$\bf sin(\alpha +\beta )=sin\alpha \cdot cos\beta +cos\alpha \cdot sin\beta =-\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot \dfrac{24}{25}-\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot \dfrac{7}{25}=\\\\\\=-\dfrac{24\sqrt2+7\sqrt2}{50}=-\dfrac{31\sqrt2}{50}$