Вычислите интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница
Ответы
Ответ:
Интеграл в данной задаче выглядит следующим образом:
∫ (x - 1) / (x + 1) dx
Для решения этого интеграла мы можем использовать формулу Ньютона-Лейбница, которая гласит, что интеграл функции f(x) можно найти, вычислив её неопределенный интеграл F(x) и подставив пределы интегрирования:
∫ f(x) dx = F(x) + C,
где F(x) - первообразная функции f(x), C - постоянная.
Применим эту формулу к нашему интегралу.
a) ∫ (x - 1) / (x + 1) dx
Сначала найдем первообразную этой функции. Для этого раскроем скобки:
∫ (x - 1) / (x + 1) dx = ∫ (x / (x + 1)) - (1 / (x + 1)) dx
Теперь проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности:
∫ (x / (x + 1)) dx = ln|x + 1| + C1,
где ln - натуральный логарифм, а C1 - постоянная.
∫ (1 / (x + 1)) dx = ln|x + 1| + C2.
Таким образом, первообразная функции (x - 1) / (x + 1) равна:
F(x) = ln|x + 1| - ln|x + 1| + C1 + C2 = C1 + C2.
Теперь подставим пределы интегрирования, чтобы найти значение интеграла:
∫ (x - 1) / (x + 1) dx = F(x)]x=1 - F(x)]x=0.
Подставим пределы:
F(x)]x=1 = C1 + C2, F(x)]x=0 = C1 + C2.
Таким образом, значение интеграла равно разности значений первообразной в пределах интегрирования:
∫ (x - 1) / (x + 1) dx = (C1 + C2) - (C1 + C2) = 0.
Ответ: Значение интеграла равно 0.
b) ∫ cos(2πx) dx от 0 до 9
В данном случае, чтобы найти значение интеграла, мы также можем использовать формулу Ньютона-Лейбница. Однако, функция cos(2πx) не содержит переменной x в знаменателе, поэтому находим первообразную данной функции простым интегрированием:
∫ cos(2πx) dx = (1 / (2π)) * sin(2πx) + C.
Теперь подставим пределы интегрирования:
∫ cos(2πx) dx]0^9 = [(1 / (2π)) * sin(2πx)]0^9.
Подставим верхний предел:
[(1 / (2π)) * sin(2π * 9)].
Вычислим значение:
[(1 / (2π)) * sin(18π)].
Заметим, что sin(18π) равен 0, так как sin(π) = 0 и sin(2π) = 0. Поэтому:
[(1 / (2π)) * sin(18π)] = [(1 / (2π)) * 0] = 0.
Ответ: Значение интеграла равно 0.