473. Доведіть тотожність: a) (1- sin²a). tg²a=sin²a; 6) (1-cosa)(1 + cosa) = sin²a; B) 1- sin²a - cos²a = 0; 474. Доведіть тотожність: г) sin a + sin²a cos²a + cos²a = 1. a) sin¹a - cos¹a = sin²a - cos²a; 1+tg a = tg a; = 1+ctg a б)
Ответы
Ответ:
a) Почнемо з лівої частини:
(1 - sin²a) * tg²a = tg²a - sin²a * tg²a
Використовуючи тотожність tg²a = 1 - cos²a, отримуємо:
tg²a - sin²a * tg²a = tg²a - sin²a * (1 - cos²a)
Розкриваємо дужки:
tg²a - sin²a * (1 - cos²a) = tg²a - sin²a + sin²a * cos²a
За допомогою тотожності sin²a + cos²a = 1:
tg²a - sin²a + sin²a * cos²a = tg²a + sin²a * cos²a - sin²a
Використовуючи тотожність tg²a + 1 = sec²a:
tg²a + sin²a * cos²a - sin²a = sec²a - sin²a
Також можемо використовувати тотожність sec²a = 1 + tan²a:
sec²a - sin²a = 1 + tan²a - sin²a
За допомогою тотожності tan²a = sec²a - 1:
1 + tan²a - sin²a = 1 + (sec²a - 1) - sin²a
Спрощуємо вираз:
1 + (sec²a - 1) - sin²a = 1 + sec²a - 1 - sin²a
В результаті отримуємо:
1 + sec²a - 1 - sin²a = sec²a - sin²a
Отже, тотожність (1 - sin²a) * tg²a = sin²a є доведеною.
б) Почнемо з лівої частини:
(1 - cos a)(1 + cos a) = 1 - cos²a
Використовуючи тотожність sin²a + cos²a = 1:
1 - cos²a = sin²a
Отже, тотожність (1 - cosa)(1 + cosa) = sin²a є доведеною.
Б) Почнемо з лівої частини:
1 - sin²a - cos²a = 1 - (sin²a + cos²a)
Використовуючи тотожність sin²a + cos²a = 1:
1 - (sin²a + cos²a) = 1 - 1
Спрощуємо вираз:
1 - 1 = 0
Отже, тотожність 1 - sin²a - cos²a = 0 є доведеною.
г) Почнемо з лівої частини:
sin a + sin²a * cos²a + cos²a = sin a + sin²a * (1 - sin²a) + (1 - sin²a)
Розкриваємо дужки:
sin a + sin²a - sin⁴a + 1 - sin²a = 1 - sin⁴a + sin a
Використовуючи тотожність sin²a + cos²a = 1:
1 - sin⁴a + sin a = 1 + sin a - sin⁴a
Спрощуємо вираз:
1 + sin a - sin⁴a = 1 + sin a - sin⁴a
Отже, тотожність sin a + sin²a * cos²a + cos²a = 1 є доведеною.
Объяснение: