Question

На гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
взята точка D. Из точки D
опущены перпендикуляры DP и DQ
на стороны AC
и BC треугольника ABC.
Найдите площадь треугольника ABC, если площади треугольников APD
и BQD равны 72
и 32.

Answer 1

Ответ:

Площадь треугольника АВС равна 200 ед.².

Объяснение:

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC взята точка D. Из точки D опущены перпендикуляры DP и DQ на стороны AC и BC треугольника ABC. Найдите площадь треугольника ABC, если площади треугольников APD и BQD равны 72 и 32.

Дано: ΔАВС - прямоугольный;

D ∈ АВ;   DP ⊥ AC;   DQ ⊥ BC.

S(APD) = 72;   S(BQD) = 32.

Найти: S(ABC)

Решение:

• Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой.

⇒ DQ || AC;   DP || BC.

Рассмотрим ΔАРD и ΔDQB - прямоугольные.

∠DAP = ∠BDQ (накрест лежащие при DQ || AC и секущей АВ)

⇒  ΔАРD ~ ΔDQB (по двум углам)

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

$\displaystyle \frac{S(APD)}{S(BQD)}=\frac{72}{32}=\frac{9}{4}=k^2\;\;\;\Rightarrow \;\;\; \bf k=\frac{3}{2}$

Пусть DQ = 2a, тогда АР = 3а;

Пусть BQ = 2b, тогда DP = 3b.

PDQC - прямоугольник (DQ || AC;   DP || BC; DP ⊥ AC;   DQ ⊥ BC)

• Противоположные стороны прямоугольника равны.

⇒ DQ = PC = 2a;   DP = QC = 3b.

Рассмотрим ΔDQB - прямоугольный.

• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

$\displaystyle S(DQB)=\frac{1}{2}DQ\cdot BQ=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot2b=2ab\\ \\ 2ab=32\;\;\;\Rightarrow \;\;\; \bf ab=16$

Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный.

АС = 5а; BC = 5b.

$\displaystyle S(ABC)=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 5a\cdot 5b=\frac{25}{2}\cdot ab=\frac{25}{2}\cdot16=200$

Площадь треугольника АВС равна 200 ед.².

#SPJ1