Доведіть, що: 1) √55+ √35> √120; √14+ √15<8; √65−√35>2;
Ответы
Ответ:
Давайте доведемо кожне з вказаних нерівностей:
1) \( √55 + √35 > √120 \)
Спробуємо підняти обидві сторони нерівності до квадрату (це допустимо, оскільки обидві сторони додатні):
\[ ( √55 + √35 )^2 > ( √120 )^2 \]
\[ 55 + 2√(55 * 35) + 35 > 120 \]
\[ 2√1925 > 30 \]
\[ 2 * 43.87 > 30 \]
\[ 87.74 > 30 \]
Так, перша нерівність дійсно вірна.
2) \( √14 + √15 < 8 \)
Піднімемо обидві сторони нерівності до квадрату:
\[ ( √14 + √15 )^2 < 8^2 \]
\[ 14 + 2√(14 * 15) + 15 < 64 \]
\[ 2√210 < 35 \]
\[ 2 * 14.49 < 35 \]
\[ 28.98 < 35 \]
Друга нерівність також вірна.
3) \( √65 - √35 > 2 \)
Піднімемо обидві сторони нерівності до квадрату:
\[ ( √65 - √35 )^2 > 2^2 \]
\[ 65 - 2√(65 * 35) + 35 > 4 \]
\[ 2√2275 > -26 \]
\[ 2 * 47.68 > -26 \]
\[ 95.36 > -26 \]
Так, третя нерівність є вірною.