Question

Найдите угол между плоскостью BCD и прямой AB. A(3,-1,2); B(-1,0,1); C(1,7,3); D (8,5,8)

Answer 1

Чтобы найти угол между плоскостью и прямой, нам нужно знать нормальный вектор плоскости и направляющий вектор прямой.

Найдем первым делом направляющий вектор прямой AB:

AB = B - A = (-1, 0, 1) - (3, -1, 2) = (-4, 1, -1)

Далее, чтобы найти нормальный вектор плоскости BCD, возьмем два вектора, лежащих в плоскости BCD: BC и BD, и найдем их векторное произведение.

BC = C - B = (1, 7, 3) - (-1, 0, 1) = (2, 7, 2)

BD = D - B = (8, 5, 8) - (-1, 0, 1) = (9, 5, 7)

Теперь найдем векторное произведение BC и BD:

BC x BD = (2, 7, 2) x (9, 5, 7) = (-9, -10, 23)

Таким образом, нормальный вектор плоскости BCD равен (-9, -10, 23).

Наконец, найдем угол между векторами AB и нормальным вектором плоскости BCD, используя формулу скалярного произведения векторов:

cos(θ) = (AB • N) / (|AB| * |N|),

где AB • N - скалярное произведение векторов AB и N,

|AB| и |N| - длины векторов AB и N соответственно.

AB • N = (-4, 1, -1) • (-9, -10, 23) = 35

|AB| = √((-4)^2 + 1^2 + (-1)^2) = √18

|N| = √((-9)^2 + (-10)^2 + 23^2) = √740

cos(θ) = 35 / (√18 * √740) ≈ 0.549

Теперь найдем угол θ, используя функцию обратного косинуса:

θ ≈ arccos(0.549) ≈ 57.84 градусов.

Таким образом, угол между плоскостью BCD и прямой AB составляет приблизительно 57.84 градусов.