Довести що вектори p = i + j, q = -2i +3k, r = i + 3j - 4k не компленарні та знайти розклад вектора а = -4i - 4j +14k за векторами p, q, r
Ответы
Ответ:
Для доведення того, що вектори p = i + j, q = -2i + 3k, r = i + 3j - 4k не компланарні, ми можемо використати визначення компланарності векторів.
Вектори p, q, r будуть компланарні, якщо існує така ненульова векторна кількість λ, що виконує рівняння λp + μq + νr = 0, де λ, μ, ν - деякі числа.
Розглянемо рівняння λp + μq + νr = 0:
λ(i + j) + μ(-2i + 3k) + ν(i + 3j - 4k) = 0.
Розкриваємо дужки та групуємо вектори:
(λ + ν)i + (λ + 3μ)j + (3μ - 2μ - 4ν)k = 0.
Отримуємо систему рівнянь:
λ + ν = 0,
λ + 3μ = 0,
3μ - 2μ - 4ν = 0.
Розв'язуємо цю систему рівнянь:
З першого рівняння отримуємо ν = -λ.
Підставляємо це значення в друге рівняння: λ + 3μ = 0.
З третього рівняння отримуємо μ = 2ν.
Підставляємо значення μ та ν в друге рівняння:
λ + 3(2ν) = 0,
λ + 6ν = 0,
λ = -6ν.
Таким чином, ми отримали, що λ = -6ν, μ = 2ν, ν - довільне число.
Отже, система рівнянь має безліч розв'язків, що відповідає безлічі ненульових векторних кількостей λ, μ, ν.
Це означає, що вектори p = i + j, q = -2i + 3k, r = i + 3j - 4k не компланарні.
Тепер знайдемо розклад вектора а = -4i - 4j + 14k за векторами p, q, r.
Розкладемо вектор а за базисними векторами p, q, r:
а = αp + βq + γr,
де α, β, γ - деякі числа, які ми повинні знайти.
Підставимо дані значення векторів p, q, r та вектор а в рівняння розкладу:
-4i - 4j + 14k = α(i + j) + β(-2i + 3k) + γ(i + 3j - 4k).
Розкриваємо дужки та групуємо вектори:
-4i - 4j + 14k = (α - 2β + γ)i + (α + 3γ - 4β)j + (3β - 4γ + 14α)k.
Зрівнюємо коефіцієнти при однакових базисних векторах:
α - 2β + γ = -4,
α + 3γ - 4β = -4,
3β - 4γ + 14α = 14.