Побудуйте переріз правильного тетраедра АВСD площиною, яка проходить через вершину D і середини ребер АВ та АС. Знайдіть периметр і площу перерізу, якщо АB=3
Ответы
Ответ:
Для побудови перерізу тетраедра ABCD утворимо прямокутний трикутник ADV, де V - середина ребра BC. Оскільки AB = 3, то AV = AB/2 = 1.5.
Позначимо через M середину ребра AC, а через N - середину ребра AB. Оскільки AV = 1.5, то VM = 1.5 (бо M - середина відрізка AC). Оскільки AN = NB (N - середина відрізка AB), то ND = AN = 1.5. Також позначимо кут між площиною перерізу та основою ABCD як α.
Розглянемо прямокутний трикутник ADV. Ми вже знаємо, що AV = 1.5 і VM = 1.5. Також, оскільки M - середина ребра AC, то AM = MC = 1.5.
Враховуючи те, що кут VAD = 90° (бо V - середина BC), ми можемо використати тригонометричні функції для обчислення інших сторін та кутів:
Сторона DV:
DV = AV * tan(VAD) = 1.5 * tan(90°) = 1.5
Сторона DN:
DN = DV * cos(α) = 1.5 * cos(α)
Сторона DM:
DM = DV * sin(α) = 1.5 * sin(α)
Тепер ми можемо обчислити периметр та площу трикутника DMN (перерізу тетраедра ABCD):
Периметр:
�
=
�
�
+
�
�
+
�
�
=
1.5
⋅
sin
(
�
)
+
1.5
⋅
cos
(
�
)
+
1.5
P=DM+DN+MN=1.5⋅sin(α)+1.5⋅cos(α)+1.5
Площа:
�
=
1
2
⋅
�
�
⋅
�
�
=
1
2
⋅
1.5
⋅
cos
(
�
)
⋅
1.5
⋅
sin
(
�
)
S=
2
1
⋅DN⋅DM=
2
1
⋅1.5⋅cos(α)⋅1.5⋅sin(α)
Необхідно врахувати, що
0
≤
�
≤
�
2
0≤α≤
2
π
, оскільки кут між площиною перерізу та основою ABCD є гострим кутом.
Для обчислення конкретних значень потрібно знати значення кута α.