Question

Алгебра. Даю 15 балів. Дати відповіді на ці питання.

Answer 1

Векторний добуток векторів:
Векторний добуток векторів - це операція, яка об'єднує два вектори та повертає новий вектор, перпендикулярний до площини, утвореної початковими векторами. Властивості векторного добутку включають:

a) Комутативність: × = - ( × ). Це означає, що порядок добутку векторів не важливий.

b) Дистрибутивність щодо скалярного множення: ( + ) × = × + × .

c) Лінійність щодо скалярів: () × () = ( × ), де та - скаляри.

d) Властивість вектору нульового довжини: × = 0.

e) Властивість перпендикулярності: Якщо вектори та перпендикулярні, то їх векторний добуток дорівнює нулю: × = 0.

Мішаний добуток векторів та його властивості:
Мішаний добуток векторів - це операція, яка обчислюється для трьох векторів та повертає скаляр. Властивості мішаного добутку включають:

a) Антикомутативність: × × = - ( × × ). Порядок векторів важливий та може змінювати знак.

b) Дистрибутивність щодо скалярного множення: () × ( × ) = ( × ) × .

c) Циклічна перестановка: × × = × × = × × .

d) Властивість детермінанту: Мішаний добуток може бути обчислений за допомогою детермінанту матриці, утвореної з компонент векторів: × × = det([, , ]).

e) Властивість об'єму паралелепіпеда: Мішаний добуток векторів відповідає об'єму паралелепіпеда, сформованого цими векторами.

Ці властивості векторного та мішаного добутку є важливими в фізиці, інженерії та математиці для розв'язання різноманітних завдань, зокрема, для обчислення об'ємів, роботи, моментів сили та багатьох інших фізичних величин.