Question

Поза паралелограмом ABCD проведено пряму, паралельну його діагоналі BD. Ця пряма перетинає прямі AB, BC, CD i AD у точках Е, M, Fi K відповідно. Доведіть, що Мк EF. AROD​

Answer 1

Ответ:

Позначимо точку перетину прямих EF і AC як X.

Оскільки EF і AC паралельні, то у відповідних кутах між ними ми можемо застосувати теорему про паралельність прямих. Зокрема, ми бачимо, що:

∠EAX = ∠EXF (за внутрішньою кутовою властивістю паралельних прямих).

Тепер давайте розглянемо чотирикутник AEXF. У цьому чотирикутнику ми маємо:

∠EAX + ∠AXF + ∠XFE + ∠EXF = 360° (сума кутів у чотирикутнику).

Знаючи, що ∠EAX = ∠EXF (за вищезазначеним), ми можемо підставити це в рівняння:

∠EAX + ∠AXF + ∠XFE + ∠EAX = 360°.

2∠EAX + ∠AXF + ∠XFE = 360°.

Тепер ми звертаємо увагу на трикутник XEF, де:

∠XFE + ∠EXF + ∠AXF = 180° (сума кутів у трикутнику).

Ми можемо підставити це в попереднє рівняння:

2∠EAX + 180° = 360°.

2∠EAX = 360° - 180°.

2∠EAX = 180°.

∠EAX = 90°.

Таким чином, ми показали, що в чотирикутнику AEXF кут ∠EAX дорівнює 90°, що свідчить про те, що точки A, E і X лежать на одному колу з діаметром AX.

Тепер розглянемо трикутник ABD. Оскільки точка X лежить на колу з діаметром BD, то ∠AXB також дорівнює 90° (колінеарність точок A, X і B).

Отже, ми показали, що ∠AXB = 90°. Тепер звернімо увагу на трикутник XBM. У цьому трикутнику ми маємо:

∠AXB + ∠XBM + ∠BXM = 180° (сума кутів у трикутнику).

Підставимо значення ∠AXB = 90°:

90° + ∠XBM + ∠BXM = 180°

∠XBM + ∠BXM = 180° - 90°.

∠XBM + ∠BXM = 90°.

Таким чином, у трикутнику XBM сума кутів ∠XBM і ∠BXM дорівнює 90°, що свідчить про те, що цей трикутник є прямокутним.

Отже, ми довели, що трикутник XBM є прямокутним трикутником.