В арифметичній прогресії 10 членів. Сума її першого й десятого членів дорівнює 13. Чому дорівнює сума третього й восьмого членів?
Ответы
Ответ:
Спершу давайте знайдемо загальний вираз для суми першого і десятого членів арифметичної прогресії.
Сума перших 10 членів арифметичної прогресії може бути обчислена за формулою:
S10 = (n/2) * [2a + (n-1)d],
де:
S10 - сума перших 10 членів,
n - кількість членів (у нашому випадку 10),
a - перший член прогресії,
d - різниця між членами прогресії.
Ми знаємо, що сума перших і десятих членів дорівнює 13, тобто:
S10 = a + a + 9d = 2a + 9d = 13.
Тепер ми можемо знайти співвідношення між a і d:
2a + 9d = 13.
Тепер ми можемо розв'язати цю систему рівнянь разом з умовою, що нам потрібно знайти суму третього і восьмого членів. Давайте розв'яжемо її:
Спершу знайдемо a та d:
2a + 9d = 13 (1)
Також маємо відомість про те, що ми шукаємо суму третього і восьмого членів:
a3 + a8 = ? (2)
Тепер ми можемо вирішити систему рівнянь (1) та (2).
З рівняння (1) можемо виразити a:
2a = 13 - 9d,
a = (13 - 9d)/2.
Підставимо це значення a в рівняння (2):
(13 - 9d)/2 + (13 - 9d)/2 + 2d = ?
Розширимо це рівняння і спростимо:
13 - 9d + 13 - 9d + 4d = ?
26 - 14d = ?
Тепер знайдемо значення d:
-14d = ? - 26,
-14d = -26,
d = 26 / 14,
d = 13 / 7.
Тепер, коли у нас є значення d, ми можемо знайти a, використовуючи рівняння (1):
2a + 9d = 13,
2a + 9 * (13/7) = 13,
2a + 117/7 = 13.
Віднімемо 117/7 від обох боків:
2a = 13 - 117/7,
2a = (91 - 117)/7,
2a = -26/7.
Тепер розділімо обидва боки на 2:
a = (-26/7) / 2,
a = -13/7.
Таким чином, ми знайшли значення a і d:
a = -13/7,
d = 13/7.
Тепер ми можемо знайти суму третього і восьмого членів (a3 і a8):
a3 = a + 2d = (-13/7) + 2 * (13/7) = (-13/7) + (26/7) = 13/7.
a8 = a + 7d = (-13/7) + 7 * (13/7) = (-13/7) + (91/7) = 78/7.
Сума третього і восьмого членів:
a3 + a8 = (13/7) + (78/7) = (13 + 78)/7 = 91/7 = 13.
Отже, сума третього і восьмого членів арифметичної прогресії дорівнює 13.