Question

Просьба доказать

$\sin {}^{2} (45 + x) - \sin {}^{2} (30 - x) - \cos(75) \times \cos(15 + 2x) = \sin(2x)$
Если что возле чисел должны быть градусы.​

Answer 1

$\sin ^2 (45^o + x) - \sin^2(30^o - x) - \cos(75^o) \times \cos(15^o + 2x) = \sin(2x)$

$\sin ^2 (45^o + x) - \sin^2(30^o - x) - \cos(75^o) \times \cos(15^o + 2x) =$

$=[\sin (45^o + x) - \sin(30^o - x)][\sin (45^o + x)+\sin(30^o - x)] - \cos(90^o-15^o) \times \cos(15^o + 2x) =$

$=2\cos\frac{(45^o + x) +(30^o - x)}{2}\sin\frac{(45^o + x)-(30^o - x) }{2}\cdot 2\sin\frac{(45^o + x)+(30^o - x)}{2}\cos\frac{(45^o + x)-(30^o - x)}{2} - sin(15^o) \times \cos(15^o + 2x) =$

$=2\cos\frac{45^o + x +30^o - x}{2}\sin\frac{45^o + x-30^o +x}{2}\cdot 2\sin\frac{45^o + x+30^o - x}{2}\cos\frac{45^o + x-30^o+ x}{2} - sin(15^o) \times \cos(15^o + 2x) =$

$=2\cos\frac{75^o}{2}\sin\frac{15^o + 2x}{2}\cdot 2\sin\frac{75^o}{2}\cos\frac{15^o+2x}{2} - sin(15^o) \times \cos(15^o + 2x) =$

$=2\cos\frac{75^o}{2}\sin\frac{75^o}{2}\cdot 2\sin\frac{15^o + 2x}{2}\cos\frac{15^o+2x}{2} - sin(15^o) \times \cos(15^o + 2x) =$

$=\sin \left(2\cdot \frac{75^o}{2} \right) \cdot \sin \left(2\cdot \frac{15^o + 2x}{2}\right) sin(15^o) \times \cos(15^o + 2x) =$

$=\sin(75^o) \cdot \sin(15^o + 2x) - \sin(15^o) \times \cos(15^o + 2x) =$

$=\sin(90^o-15^o) \cdot \sin(15^o + 2x) - \sin(15^o) \times \cos(15^o + 2x) =$

$=\cos(15^o) \cdot \sin(15^o + 2x) - \sin(15^o) \times \cos(15^o + 2x) =$

$= \sin(15^o + 2x)\cdot\cos(15^o) - \cos(15^o + 2x)\cdot\sin(15^o) =$

$= \sin[(15^o + 2x)-15^o ] =$

$= \sin(15^o + 2x-15^o) =$

$= \sin( 2x)$