Question

19.6. Пусть один из катетов прямоугольного треугольника равен корень из 3, а его углы образуют арифметическую прогрессию. Найдите площадь треугольника.​

Answer 1

Известно, что углы прямоугольного треугольника образуют последовательность арифметической прогрессии. Пусть меньший угол равен x, тогда два другие - x+d и (x+2d). Составим систему уравнений

x + x + d + x + 2d = 180°

x + 2d = 90°

x + d = 60°

x + 2d = 90°

Получаем d = 30°, следовательно, углы прямоугольного треугольника будут 30°; 60°; 90°

Если катет, равный √3 лежит напротив угла 30°, то второй катет равен b = √3 * tg(30°) = √3 * √3 = 3. Тогда его площадь будет $S=0.5\cdot 3\sqrt{3}=1.5\sqrt{3}$ кв. ед.

Если катет, равный √3 лежит напротив угла 60°, то второй катет равен b = √3 * tg(60°) = √3 * 1/√3 = 1. Тогда его площадь будет $S=0.5\cdot 1\cdot \sqrt{3}=0.5\sqrt{3}$ кв. ед.