Question

В треугольнике  ABC медиана  AM перпендикулярна биссектрисе  BD. Найдите площадь треугольника  ABC, если AM=20,BD=19.

Answer 1

См. рисунок

Обозначим точку пересечения AM и BD как O.

Так как биссектриса BO в треугольнике ABM является по условию еще и высотой, треугольник ABM равнобедренный (AB=BM). Поэтому AO=OM = AM/2. Аналогично AD=DM, потому что DO в треугольнике ADM является и высотой и медианой.

Далее имеем

$S_{ABC} = S_{ADB}+S_{DBM}+S_{DMC}$

Однако $S_{ADB} = AO\cdot BD/2=S_{BMD}$ а кроме того $S_{DBM} = S_{DMC}$ так как медиана DM делит треугольник BDC на два равновеликих.

Окончательно получаем

$\displaystyle S_{ABC} = 3S_{ADB} = \frac{3}{2}AO\cdot BD = \frac{3}{4}AM\cdot BD = 285$