Question

Сколько можно составить трехзначных чисел, кратных 14 и не включающих в себя 5 цифр?
пожалуйста, помогите мне

Answer 1

Ответ:

Трехзначных чисел, кратных 14 и не включающих в себя 5 цифр, можно составить ровно 50

Объяснение:

Информация. 1) В теории чисел через $\tt \overline{xyz}$ обозначают трёхзначное число, где x, y и z - цифры, x≥1.

2) Признак делимости на 7: Число делится на 7, если результат вычитания удвоенной последней цифры из числа десятков этого числа делится на 7.

Решение. 1-способ. Перечислим все трехзначные числа, кратные 14:

112, 126, 140, 154, 168, 182, 196, 210, 224, 238, 252, 266, 280, 294, 308, 322, 336, 350, 364, 378, 392, 406, 420, 434, 448, 462, 476, 490, 504, 518, 532, 546, 560, 574, 588, 602, 616, 630, 644, 658, 672, 686, 700, 714, 728, 742, 756, 770, 784, 798, 812, 826, 840, 854, 868, 882, 896, 910, 924, 938, 952, 966, 980, 994 - всего 64.

Исключаем числа включающих в себя цифру 5:

154, 252, 350, 504, 518, 532, 546, 560, 574, 588, 658, 756, 854, 952 – всего 14.

Остаётся 64-14 = 50.

2-способ. Числа кратные 14 можно представить в виде: K = 14·n, здесь n неотрицательное целое число. По условию нам нужно выделить трёхзначные, то есть 99 < K < 1000. Отсюда

99 < 14·n < 1000

99:14 < n < 1000:14

7 1/14 < n < 71 3/14.

Так как n неотрицательное целое число, то

8 ≤ n ≤ 71.

Тогда число трехзначных чисел, кратных 14, ровно

71-8+1 = 64.

Далее, 14 = 2·7, которое означает, что трехзначные числа, кратные 14 - чётные и кратные к 7. Известно, что

• Чётные числа оканчиваются на 0, 2, 4, 6 и 8.

Значит, цифра единиц не включает цифру 5. Представив числа в виде $\tt \overline{a5*}$ (цифра десятков равна 5) и $\tt \overline{5b*}$ (цифра сотенных равна 5), где * - заменяет 0, 2, 4, 6 и 8, находим все трёхзначные числа, кратные 14 и включающих в себя цифру 5 (см. рисунок).

Значит, трехзначные числа, кратные 14 и включающих в себя цифру 5: 154, 252, 350, 504, 518, 532, 546, 560, 574, 588, 658, 756, 854, 952 – всего 14.

Тогда  трехзначных чисел, кратных 14 и не включающих в себя 5 цифр: 64-14 = 50.

#SPJ1