Question

ДУЖЕ ТЕРМIНОВО!!!
Коло з центром у середині основи рівнобедреного трикутника АВС доти- кається до його бічних сторін АВ і ВС і ділить відрізок АС на три рівні частини. Знайдіть радіус цього кола, якщо площа трикутника АВС дорівнює 9√2
А) 2
Б) 2√2
В) 2√3
Г) 3
Д) Інша відповідь

Answer 1

Ответ:

Радиус окружности равен 2.

Ответ А) 2

Объяснение:

Круг с центром в середине основания равнобедренного треугольника АВС касается боковых сторон АВ и ВС и делит отрезок АС на три равные части. Найдите радиус этого круга, если площадь треугольника АВС равна 9√2

А) 2

Б) 2√2

В) 2√3

Г) 3

Д) другой ответ

Дано: ΔАВС - равнобедренный;

Окр,О ∩ АС = {K, M}

Е и Н - точки касания;

AK = KM = MC = 2R

S(ABC) = 9√2

Найти: R

Решение:

• Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к данной стороне.

S = 1/2 · AC · BO

$\displaystyle 9\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot6R\cdot BO\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\bf BO=\frac{3\sqrt{2} }{R}$

Рассмотрим ΔАЕО.

• Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

⇒ ΔАЕО - прямоугольный.

• Теорема Пифагора:
• Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

⇒ АО² = ОЕ² + АЕ²

АЕ² = 9R² - R² = 8R²   ⇒  AE = 2√2R

Рассмотрим ΔАВО.

ВО - медиана.

• В равнобедренном треугольнике медиана является высотой.

⇒ ΔАВО - прямоугольный.

• Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике:
• квадрат каждого катета равен произведению проекции этого катета на гипотенузу и самой гипотенузы.

⇒ АО² = АЕ · АВ

$\displaystyle 9R^2=2\sqrt{2}R\cdot AB\;\;\;\Rightarrow \;\;\;AB=\frac{9R^2}{2\sqrt{2}R } =\frac{9R}{2\sqrt{2} }=\frac{9\sqrt{2}R }{4}$

$\displaystyle S(ABO)=\frac{1}{2} S(ABC)=\frac{9\sqrt{2} }{2}\\ \\S(ABO)=\frac{1}{2}AB\cdot OE \\ \\ \frac{1}{2}\cdot\frac{9\sqrt{2}R^2 }{4} =\frac{9\sqrt{2} }{2}\\\\\frac{R^2}{4}=1\\ \\R^2=4\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\bf R=2$

Радиус окружности равен 2.

#SPJ1