Question

Терміново!!т Даю сто балів!!! З розвʼязком

Answer 1

Ответ:

34)  Решить уравнение .

$\bf 4^{tg^2x}+2^{^{\frac{1}{cos^2x}}}-80=0\ \ ,\ \ \ ODZ:\ x\ne \dfrac{\pi }{2}+\pi n\ ,\ n\in Z$  

Применим формулу:   $\bf 1+tg^2x=\dfrac{1}{cos^2x}$  

$\bf 4^{tg^2x}+2^{1+tg^2x}-80=0\\\\\Big(4^{tg^2x}\Big)^2+2\cdot 2^{tg^2x}-80=0$  

Замена:  $\bf t=2^{tg^2x} > 0\ \ ,\ \ \ t^2+2t-80=0$  ,

$\bf t_1=-10 < 0\ ,\ \ t_2=8 > 0\ \ \ (teorema\ Vieta)\\\\2^{tg^2x}=8\ \ \ \Rightarrow \ \ 2^{tg^2x}=2^3\ \ \Rightarrow \ \ \ tg^2x=3\ \ ,\ \ \ tgx=\pm \sqrt3\ \ ,\\\\x=\pm arctg\sqrt3+\pi k\ \ ,\ k\in Z\\\\x=\pm \dfrac{\pi }{3}+\pi k\ \ ,\ \ k\in Z\\\\Otvet:\ \ x_1=-\dfrac{\pi }{3}+\pi k\ ,\ x_2=\dfrac{\pi }{3}+\pi k\ \ ,\ \ k\in Z\ .$  

35) Решить уравнение .

$\bf \sqrt3\cdot 3^{^{\frac{x}{1+\sqrt{x}}}}\cdot \Big(\dfrac{1}{3}\Big)^{\frac{2+\sqrt{x}+x}{2+2\sqrt{x}}}=81\ \ ,\ \ \ ODZ:\ x\geq 0\ \ .$    

Применим свойствa степеней :   $\bf a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}\ \ ,\ \ a^{-1}=\dfrac{1}{a}$   .  

$\bf 3^{^{\frac{1}{2}}}\cdot 3^{^{\frac{x}{1+\sqrt{x}}}}\cdot \Big(3^{-1}\Big)^{\frac{2+\sqrt{x}+x}{2\, (1+\sqrt{x})}}=3^4$

$\displaystyle \bf \frac{1}{2}+\frac{x}{1+\sqrt{x}}-\frac{2+\sqrt{x}+x}{2\, (1+\sqrt{x})}=4\\\\\\\frac{1+\sqrt{x}+2x-2-\sqrt{x}-x}{2\, (1+\sqrt{x})}-4=0\ \ ,\ \ \frac{-1+x-8-8\sqrt{x}}{2\, (1+\sqrt{x})}=0$    

$\displaystyle \bf \frac{x-8\sqrt{x}-9}{2\, (1+\sqrt{x})}=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x-8\sqrt{x}-9=0\ \ ,\\\\\\zamena:\ t=\sqrt{x}\geq 0\ \ ,\ \ \ t^2-8t-9=0\ \ ,\\\\t_1=-1 < 0\ \ ne\ podxodit\ ,\ t_2=9 > 0\ \ (teorema\ Vieta)\\\\\sqrt{x}=9\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=81\\\\Otvet:\ x=81\ .$      

36)  Решить уравнение .

$\bf \Big(4-\sqrt{15}\Big)^{\frac{x}{2}}+\Big(4+\sqrt{15}\Big)^{\frac{x}{2}}=8\ \ ,\ \ \ ODZ:\ x\in R\ .$  

Основания степеней - взаимно-обратные числа. Убедимся в этом .

$\bf \Big(4-\sqrt{15}\Big)\cdot \Big(4+\sqrt{15}\Big)=4^2-(\sqrt{15})^2=16-15=1\ \ \Rightgarrow \\\\\boldsymbol{4-\sqrt{15}=\dfrac{1}{4+\sqrt{15}}\ \ \ \ ili\ \ \ \ 4-\sqrt{15}=(4+\sqrt{15})^{^{-1}}}$      

Запишем уравнение в виде :

$\bf \dfrac{1}{(4+\sqrt{15})^{^{\frac{x}{2}}}}+(4+\sqrt{15})^{^{\frac{x}{2}}}-8=0$  

Замена :  $\bf t=(4+\sqrt{15})^{^{\frac{x}{2}}} > 0\ \ ,\ \ \ \dfrac{1}{t}+t-8=0\frac{x}{y} \ \ ,\ \ \ \dfrac{t^2-8t+1}{t}=0\ \ ,\\\\\\t^2-8t+1=0\ \ ,\ \ D/4=(b/2)^2-ac=4^2-1=16-1=15\ \ ,\\\\t_{1,2}=4\pm \sqrt{15}\\\\a)\ \ (4+\sqrt{15})^{^{\frac{x}{2}}}=4+\sqrt{15}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{x}{2}=1\ \ ,\ \ \ x=2\\\\b)\ \ (4+\sqrt{15})^{^{\frac{x}{2}}}=4-\sqrt{15}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ (4+\sqrt{15})^{^{\frac{x}{2}}}=(4+\sqrt{15})^{^{-1}}\ \ ,\ \ \dfrac{x}{2}=-1\ ,\\\\x=-2\\\\Otvet:\ x_1=2\ ,\ x_2=-2\ .$