Question

Найти все корни уравнения, не графическим методом !
x² - 17[x] + 60 = 0, []-выделяют целую часть числа не превосходящую само число,
помимо очевидных x = 12, x = 5 найти все остальные решения !

Answer 1

Ответ:

................................................

Объяснение:

Answer 2

1. Рассмотрим случай, когда $x\in\mathbb{Z}$.

Тогда $[x] = x$ и, действительно, имеем два корня: $x_1 = 5,\, x_8 = 12$ (смысл обозначения второго корня, как восьмого, будет раскрыт ниже).

2. Рассмотрим случай $x > 0,\, x\notin \mathbb{Z}$.

Тогда целая часть $[x]$ представима в виде $[x] = x - \{x\}$, где $\{x\} \in [0, 1)$ --- дробная часть числа $x$.

Перепишем заданное уравнение, используя это соотношение:

$x^2 - 17x + 60 + 17\{x\}=0.$

Для любого нецелого $x$ будет существовать такое $n\in\mathbb{N}$, что $n < x < n+1$. Тогда $\{x\} = x-n$. То есть,

$x^2 + 60-17 n = 0.$

Поскольку рассматриваем $x > 0$, то $x = +\sqrt{17n-60}$.

Первое условие на $n$ --- неотрицательность подкоренного выражения: $n\geq 60/17$.

Полученные значения $x$ должны попадать в промежуток $(n,n+1)$:

$n^2 < 17n-60 < n^2+2n+1 \iff n^2-17n+60 < 0$ (доказать равносильность этих неравенств предоставляется читателю). Отсюда получим ещё одно условие: $5 < n < 12$.

Итого, $n\geq 60/17,\quad 5=85/17 < n < 12 \iff 5 < n < 12$.

Получим 6 корней:

$x_2 = \sqrt{42},\, x_3 = \sqrt{59},\, x_4 =2\sqrt{19},\, x_5 = \sqrt{93},\, x_6 = \sqrt{110},\, x_7 = \sqrt{127}.$

3. Осталось рассмотреть $x < 0,\, x\notin \mathbb{Z}$.

Как я понял из условия, для отрицательных значений функция взятия целой части должна будет вернуть ближайшее целое число, превосходящее заданное по модулю. То есть, например, $[{-1{,}3}] = -2$ или $[{-0{,}5}] = -1$. Поэтому, следует модифицировать найденное в пункте 2 соотношение между функциями $[x]$ и $\{x\}$.

Рассмотрев пару примеров, нетрудно прийти к соотношению $[x] = x-1 + \{|x|\}$. Подставим его в уравнение:

$x^2 - 17x + 77 - 17\{|x|\} = 0.$

Аналогично пункту 2, должны иметь натуральное число $n$ такое, что $-(n+1) < x < -n$. Тогда $\{|x|\} = |x| - n = -x-n$. Получим

$x^2+77+17n = 0 \iff x\in\varnothing.$

Ответ. $x\in\Big\{5;\; \sqrt{42};\; \sqrt{59};\; 2\sqrt{19};\; \sqrt{93};\; \sqrt{110};\; \sqrt{127},\, 12\Big\}.$