Question

Несколько человек собрались в клубе. Некоторые из них были
в шляпах, а другие – с непокрытой головой. Кто-то из тех, у
кого была шляпа на голове, мог снять свою шляпу и надеть на
того, у кого в данный момент шляпы на голове не было. Потом
опять кто-то из тех, у кого была шляпа на голове, мог её снять
и надеть на того, у кого в тот момент шляпы на голове не было,
и т.д. Таким образом они развлекались некоторое время, после
чего оказалось, что 10 человек отдавали шляпы больше раз,
чем получали. Найдите наименьшее количество людей,
которые могли быть в клубе в этот день. Ответ обоснуйте.

Answer 1

Человек мог отдать шляп больше, чем получил только в случае, если он пришел в шляпе, а ушел без нее. В самом деле, человек пришедший в шляпе и в ней же ушедший отдал шляпу столько же раз, сколько потом и получил. А человек пришедший без шляпы мог либо получить шляп на одну больше, чем отдал и уйти с ней, либо опять-таки получить столько же, сколько отдал и остаться без шляпы.

Так как таких человек 10, мы понимаем что по крайней мере 10 человек пришли в своих шляпах.

Так как оказались они все в итоге без шляп, мы понимаем, что их 10 разных шляп были вручены по крайней мере 10 разным людям с непокрытой головой. Значит минимальное количество людей - 20. 10 в шляпах и 10 без шляп