Question

В параллелограмме ABCD один угол в два раза больше другого. Диагональ BD делит тупой угол на две равные части. Во сколько раз периметр параллелограмма больше длины диагонали BD?

Answer 1

Решение.

ABCD - параллелограмм ,  ∠А = ∠С  ,   ∠В = ∠D = 2·∠A   ,  

∠A + ∠B = 180° = ∠A + 2·∠A = 3·∠A   ⇒   ∠A = 180° : 3 = 60°  ,

∠B = 2·60° = 120°  .

Диагональ BD - биссектриса  ∠В  ⇒   ∠ABD = ∠CBD = 60°   ⇒  

В   ΔADB  угол ∠ADB =  180° - 60° - 60° = 60°  .

ΔADB - равносторонний , так как все углы ΔADB равны 60° .  Значит, все стороны ΔADB  равны :  AB = AD = BD .  

А значит и все стороны параллелограмма ABCD равны диагонали BD . ( Если все стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом. )

Периметр параллелограмма ABCD  равен

P = AB + BC + CD + AD = 4·AB = 4·BD

Периметр параллелограмма в 4 раза больше длины диагонали BD .