Question

СРОЧНО! ДАЮ 55 БАЛОВ!!

Обертанням прямокутного трикутника
АВС навколо ВС
утворюється тіло. Визначте обʼєм тіла як функцію с і ß!

*получилась формула с тригонометрией, хочу сравнить верность ответа*

Answer 1

Ответ:

Дан  ΔАВС ,  ∠С = 90° , ∠АВС = β  ,  АВ = с  .

 При вращении треугольника АВС около катета ВС получим конус .

У этого конуса высота будет равна  h = BC  , а радиус основания равен  R = AC  .

Объём конуса найдём по формуле   $\bf V=\dfrac{1}{3}\cdot \pi R^2\cdot h$  .

Выразим катеты  ΔАВС через  с и угол  β  .

$\boldsymbol{h=BC=AB\cdot cos\angle{ABC=c\cdot cos\beta }}$            

$\boldsymbol{R=AC=AB\cdot sin\angle{ABC=c\cdot sin\beta }}$  

$\boldsymbol{V=\dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot c^2\cdot sin^2\beta \cdot c\cdot cos\beta =\dfrac{\pi }{3}\cdot c^3\cdot sin^2\beta \cdot cos\beta}$  

Можно объём записать немного в другом виде, применив формулу синуса двойного угла :

$\boldsymbol{V=\dfrac{\pi }{3}\cdot c^3\cdot sin^2\beta \cdot cos\beta =\dfrac{\pi }{6}\cdot c^3\cdot sin2\beta \cdot sin\beta }$  

А если применить формулу произведения синусов, то получим

$\boldsymbol{V=\dfrac{\pi }{6}\cdot c^3\cdot sin2\beta \cdot sin\beta =\dfrac{\pi }{12}\cdot c^3\cdot (cos\beta -cos3\beta )}$    

Можно выьрать любой из трёх ответов .