Предмет: Алгебра, автор: Alexandr130398

Число a - корень уравнения: x¹³+x⁷+x=1.
При каких натуральных n выполняется равенство a⁶+a=aⁿ+1?


hderyb: У меня вышло n=19, однако в некоторых моментах не уверен в равносильности преобразований, может у вас имеется ответ?
Alexandr130398: да, ответ такой)
hderyb: Замечательно) В таком случае в ближайшее время покажу решение
hderyb: если ещё актуально
Alexandr130398: да я сам эту задачу составлял) Есть желание, пишите решение, получите баллы)
hderyb: В баллах не нуждаюсь, просто ищу чем занять себя)

Ответы

Автор ответа: hderyb
1

Ответ:

n=19

Объяснение:

Для начала скажем, что корень один(возможно мы уже изначально это полагаем, тем не менее)

f'(x)=13x^{2} +7x^{6}+1, что говорит о том, что функция возрастает на всей числовой прямой и одному значению y соответствует один x.

Дальше я уже рассматриваю число 'a' по большей части как оно и есть(за число... ну почти), то есть уже нашлось конкретное число a, для которого верны следующие равенства и требуется найти n

\left \{ {{a^{13}+a^{7}+a  =1} \atop {a^{6}+a =a^{n}+1 }}

a=\frac{1}{a^{12}+a^{6} +1 } =\frac{1-a^{6} }{1-a^{18} }(замечаем, что в знаменателе геом. прогрессия и преобразовываем).

Теперь я хочу поработать со вторым равенством, перенести единицу и прологарифмировать. Однако нужно доказать что выражение положительное, что действительно так, ведь при x≤0 решений уравнения нет, значит a>0 и a^n>0:

n=log_a(a^{6} +a-1), теперь вместо одного из слагаемых подставить то, что выводилось раннее.

n=log_a(a^{6}+\frac{1-a^{6} }{1-a^{18} }  -1)=log_a([1-a^{6}][\frac{1}{1-a^{18} }-1])=log_a([1-a^{6}][\frac{1-1+a^{18} }{1-a^{18} }  ])=log_a(a^{18}(\frac{1-a^{6} }{1-a^{18} }))=log_aa^{19}=19


antonovm: а может так : x(x^18 -1) /(x^6 -1) = 1 = > x^19 -x = x^6 -1 ; x^19 + 1 = x^6 + x
antonovm: x^n + 1 = x^6 +1 = x^19 +1 ; x^n = x^19 ; n= 19
Похожие вопросы
Предмет: География, автор: stoyanovichooo
Предмет: Алгебра, автор: Nazik666228
Предмет: История, автор: viktoriiazhidkowa