Question

cos3xcos³x+sin3xsin³x=0
сколько корней имеет это уравнение на промежутке [0,2π]​

Answer 1

Ответ:

4 корня имеет заданное уравнение на промежутке [0; 2π]​

Решение:

$\cos3x\cos^3x+\sin3x\sin^3x=0$

Представим куб как произведение квадрата и первой степени:

$\cos3x\cos x\cos^2x+\sin3x\sin x\sin^2x=0$

Дважды применим основное тригонометрическое тождество:

$\cos3x\cos x(1-\sin^2x)+\sin3x\sin x(1-\cos^2x)=0$

$\cos3x\cos x-\cos3x\cos x\sin^2x+\sin3x\sin x-\sin3x\sin x\cos^2x=0$

Сгруппируем слагаемые:

$(\cos3x\cos x+\sin3x\sin x)-\sin x\cos x(\cos3x\sin x+\sin3x\cos x)=0$

Воспользуемся формулами косинуса разности и синуса суммы:

$\cos(3x-x)-\sin x\cos x\sin(3x+x)=0$

$\cos2x-\sin x\cos x\sin4x=0$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

$\cos2x-\sin x\cos x\cdot 2\sin2x\cos2x=0$

$\cos2x-2\sin x\cos x\cdot \sin2x\cos2x=0$

Вновь воспользуемся формулой синуса двойного угла:

$\cos2x-\sin 2x\cdot \sin2x\cos2x=0$

$\cos2x(1-\sin^22x)=0$

В скобках применим следствие из основного тригонометрического тождества:

$\cos2x\cdot \cos^22x=0$

$\cos^32x=0$

$\cos2x=0$

$2x=\dfrac{\pi }{2} +\pi n$

$x=\dfrac{\pi }{4} +\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}$

Выполним отбор корней на промежутке [0; 2π]​:

$0\leqslant \dfrac{\pi }{4} +\dfrac{\pi n}{2}\leqslant2\pi$

$0\leqslant \dfrac{1 }{4} +\dfrac{n}{2}\leqslant2$

$4\cdot 0\leqslant 4\cdot\left( \dfrac{1 }{4} +\dfrac{n}{2}\right)\leqslant4\cdot2$

$0\leqslant 1+2n\leqslant8$

$0-1\leqslant 2n\leqslant8-1$

$-1\leqslant 2n\leqslant7$

$-\dfrac{1}{2} \leqslant n\leqslant\dfrac{7}{2}$

Целые числа, принадлежащие полученному отрезку: 0; 1; 2; 3. Поскольку этих чисел 4, то и корней, принадлежащих заданному промежутку, 4.

Элементы теории:

Основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1$

Формулы синуса и косинуса суммы и разности:

$\sin(\alpha \pm\beta )=\sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta$

$\cos(\alpha \pm\beta )=\cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta$

Формула синуса двойного угла:

$\sin2\alpha =2\sin\alpha \cos\alpha$