Question

6sin²3x+2cos²3x=5 , решите , пожалуйста ​

Answer 1

Основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1$

Рассмотрим уравнение:

$6\sin^23x+2\cos^23x=5$

Используя основное тригонометрическое тождество, подставим выражение для квадрата синуса:

$6(1-\cos^23x)+2\cos^23x=5$

$6-6\cos^23x+2\cos^23x=5$

$-4\cos^23x=-1$

$\cos^23x=\dfrac{1}{4}$

$\left[\begin{array}{l} \cos3x=\dfrac{1}{2} \\ \cos3x=-\dfrac{1}{2}\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l} 3x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n \\ 3x=\pm\dfrac{2\pi }{3}+2\pi n\end{array}\right.$

Серию корней $\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ можно объединить с серией корней $-\dfrac{2\pi }{3}+2\pi n$ в серию $\dfrac{\pi }{3}+\pi n$. Аналогично, серия корней $-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$ объединяется с серией корней $\dfrac{2\pi }{3}+2\pi n$ в серию $-\dfrac{\pi }{3}+\pi n$.

Поэтому, объединим серии корней:

$3x=\pm\dfrac{\pi}{3}+\pi n$

$x=\pm\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{\pi n}{3} ,\ n\in\mathbb{Z}$

Ответ: $\pm\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{\pi n}{3} ,\ n\in\mathbb{Z}$