Question

Вычислить неопределенный интеграл

Answer 1

Ответ:

а)  Непосредственное интегрирование и подведение под знак дифференциала .

$\bf \displaystyle \int \frac{3\, arcsin^2x+4}{\sqrt{1-x^2}}\, dx=3\int arcsin^2x\cdot d(arcsinx)+4\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\\\\\\=3\cdot \frac{arcsin^3x}{3}+4\cdot arcsinx+C=arcsin^3x+4\, arcsinx+C$      

b)  Интегрирование по частям :  $\bf \displaystyle \int u\, dv=uv-\int v\, du$    .

$\bf \displaystyle \int (2x-5)\, cos4x\, dx=\Big[\ u=2x-5\ ,\ du=2\, dx\ ,\ \ dv=cos4x\ ,\\\\v=\frac{1}{4}\, sin4x\ \Bihg]=\frac{1}{4}\cdot (2x-5)\cdot sin4x-\frac{2}{4}\int sin\, 4x\, dx=\\\\\\=\frac{1}{4}\cdot (2x-5)\cdot sin4x+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}\, cos4x+C=\frac{1}{4}\cdot (2x-5)\cdot sin4x+\frac{1}{8}\, cos4x+C$

d)  Интегрирование рациональных дробей .

$\bf \displaystyle \int \frac{2x^3+6x^2+5x+4}{(x-2)(x+1)^3}\, dx=\int \frac{A}{x-2}\, dx+\int \frac{B}{(x+1)^3}\, dx+\int \frac{C}{(x+1)^2}\, dx+\\\\\\+\int \frac{D}{x+1}\, dx\ ;\\\\\\\frac{2x^3+6x^2+5x+4}{(x-2)(x+1)^3}\, dx=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x+1)^3}+\frac{C}{(x+1)^2}+\frac{D}{x+1}\\\\\\2x^3+6x^2+5x+4=A(x+1)^3+B(x-2)+C(x-2)(x+1)+D(x-2)(x+1)^2$

Найдём коэффициенты методом неопределённых коэффициентов .

$\bf \displaystyle x=2\ \ \to \ \ 2\cdot 8+6\cdot 4+5\cdot 2+4=A\cdot 27\ \ ,\ \ A=\frac{54}{27}=2\ \ ,\\\\x=-1\ \ \to \ \ 2\cdot (-1)+6\cdot 1-5+4=B\cdot (-3)\ \ ,\ \ B=\frac{3}{-3}=-1\\\\\\x^3\ |\ A+D=2\ \ ,\ \ \ D=2-A=2-2=0\\x^2\ |\ 3A+C=6\ ,\ \ \ C=6-3A=6-6=0$    

$\bf \displaystyle \int \frac{2x^3+6x^2+5x+4}{(x-2)(x+1)^3}\, dx=\int \frac{2}{x-2}\, dx+\int \frac{-1}{(x+1)^3}\, dx=\\\\\\=2\, ln|\, x-2\, |-\frac{(x+1)^{-2}}{-2}+C=2\, ln|\, x-2\, |+\frac{1}{2(x+1)^2}+C$