Question

Через данную точку B проведите касательную к графику функции y=f(x).
f(x)=корень из (3-x), В(4; 0)
(аналитикой пожалуйста)

Answer 1

$f(x)=\sqrt{3-x};\ B(4;\ 0)$

Найдем производную функции:

$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{3-x} } \cdot(3-x)'=\dfrac{1}{2\sqrt{3-x} } \cdot(-1)=-\dfrac{1}{2\sqrt{3-x} }$

Пусть $x_0$ - точка касания. Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид:

$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

Найдем значение функции и значение производной в точке касания:

$f(x_0)=\sqrt{3-x_0}$

$f'(x_0)=-\dfrac{1}{2\sqrt{3-x_0} }$

Составим уравнение касательной:

$y=\sqrt{3-x_0} -\dfrac{1}{2\sqrt{3-x_0} }\cdot (x-x_0)$

По условию эта касательная проходит через точку $B(4;\ 0)$. Поставим координаты этой точки в уравнение:

$0=\sqrt{3-x_0} -\dfrac{1}{2\sqrt{3-x_0} }\cdot (4-x_0)$

Решим уравнение и найдем точку касания:

$\dfrac{4-x_0}{2\sqrt{3-x_0} }=\sqrt{3-x_0}$

Учтем, что $3-x_0 > 0$, и умножим обе части уравнения на $2\sqrt{3-x_0}$:

$4-x_0=2(3-x_0)$

$4-x_0=6-2x_0$

$2x_0-x_0=6-4$

$x_0=2$

Подставим значение точки касания в составленное ранее уравнение касательной:

$y=\sqrt{3-2} -\dfrac{1}{2\sqrt{3-2} }\cdot (x-2)$

$y=1 -\dfrac{1}{2 }\cdot (x-2)$

$y=1 -\dfrac{x}{2 }+1$

Искомое уравнение касательной:

$\boxed{y=2 -\dfrac{x}{2 }}$

Answer 2

Ответ:

y = -1/2x + 2

Пошаговое объяснение:

Уравнение  касательной имеет вид : y = k(x-4) ; абсцисса точки касания

должна удовлетворять уравнению :  $\sqrt{3-x} =$ k(x-4)  ; так как x ≤ 3 . то к

< 0 ; пусть  k² = c ;  3 - x = c(x² -8x +16)  или : cx² - (8c-1)x + 16c -3 =0   

так как касательная  имеет одну общую точку с графиком  функции ,

то  D = 0 или  (8с-1)² -4с(16с-3) = 0 ⇔ с = 0,25 ⇒ k = - 0,5 (  k < 0) ⇒

 y = -0,5x +2