Question

Произведение трёх попарно различных вещественных чисел x, y, z равно 8, причём выполнены равенства x(y^2+2z^2)=y(z^2+2x^2)=z(x^2+2y^2). Чему может быть равна сумма этих чисел?

Введите все возможные ответы в произвольном порядке.

Answer 1

Ответ:x+y+z=7

Объяснение:

Решим относительно х уравнение:

x(y²+2*z²)=y*z²+2yx²

2yx²-x(y²+2*z²)+yz²=0

D=(y²+2*z²)²-4yz²*2y = (y²-2*z²)²

$= > x1=\frac{y^2+2z^2-(y^2-2z^2)}{4y} =\frac{z^2}{y} \\\\x2=\frac{y^2+2z^2+(y^2-2z^2)}{4y} =\frac{y}{2}$

Решим относительно y уравнение:

z(x²+2*y²)=zx²+2zy²=y*(z²+2x²)

2zy²-y(z²+2x²)+zx²=0

D=(z²+2x²)²-4zx²*2z=(z²-2x²)²

=>y1=$\frac{z^2+2x^2-z^2+2x^2}{4z} =\frac{4x^2}{4z} =\frac{x^2}{z}$

y2=z/2

Рассмотрим x1*y*z =8 => z²*y*z/y=8 => z³=8 => z=2 => y2=z/2=1

=> x1=4/y2 =4

Итак - первая ситуация z=2, y2=1 , x1=4  => x+y+z=4+2+1=7

Рассмотрим z=2 y1=x²/z=> y1=x²/2   x*y*z=x*x²*2/2=8=>x=2, y=2

Но вариант x=y=z=2 не подходит, так как по условию x,y,z  попарно неравны друг другу.

Очевидно, что вследствие симметрии уравнений оставшиеся варианты дадут такое же суммы.

Единственная сумма x+y+z=7