Question

Помогите пожалуйста.

Answer 1

Решение.

Решить уравнения на поле комплексных чисел .

$\boldsymbol{1)\ \ z^3=i}$    

Извлекаем кубический корень по формуле :

$\bf \sqrt[3]{\bf z}=\sqrt[3]{\bf |z|}\cdot \Big(cos\dfrac{\varphi +2\pi k}{3}+i\cdot sin\dfrac{\varphi +2\pi k}{3}\Big)\ \ ,\ \ k=0,1,2\ .$    

$\bf a+b\, i=0+1\cdot i\ \ \ \Rightarrow \ \ \ |\, z|=r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{0+1}=1$  

$\boldsymbol{\varphi =arccos\dfrac{a}{|z|}=arccos\dfrac{0}{1}=0\ \ ,\ \ \varphi =\dfrac{\pi }{2}}$  

$\bf k=0\ ,\ \ z_0=\sqrt[3]{1}\cdot \Big(cos\dfrac{\frac{\pi}{2}+2\pi \cdot 0}{3}+i\cdot sin\dfrac{\frac{\pi}{2}+2\pi \cdot 0}{3}\Big)=cos\dfrac{\pi }{6}+i\cdot sin\dfrac{\pi }{6}\ .\\\\\boldsymbol{z_0=\dfrac{\sqrt3}{2}+i\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot \Big(1+\dfrac{1}{\sqrt3}\cdot i\Big)}$  

$\bf k=1\ ,\ \ z_1=\sqrt[3]{1}\cdot \Big(cos\dfrac{\frac{\pi}{2}+2\pi \cdot 1}{3}+i\cdot sin\dfrac{\frac{\pi}{2}+2\pi \cdot 1}{3}\Big)=cos\dfrac{5\pi }{6}+i\sin\dfrac{5\pi }{6}\ .\\\\\boldsymbol{z_1=-\dfrac{\sqrt3}{2}+i\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot \Big(-1+\dfrac{1}{\sqrt3}\cdot i\Big)}$

$\bf k=2\ ,\ \ z_2=\sqrt[3]{1}\cdot \Big(cos\dfrac{\frac{\pi}{2}+2\pi \cdot 2}{3}+i\cdot sin\dfrac{\frac{\pi}{2}+2\pi \cdot 2}{3}\Big)=cos\dfrac{3\pi }{2}+i\cdot sin\dfrac{3\pi }{2}\ .\\\\\boldsymbol{z_2=0+i\cdot (-1)=-i}$  

Ответ:   $\boldsymbol{\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot \Big(\pm 1+i\cdot \dfrac{1}{\sqrt3}\Big)\ ,\ \ -i\ \ .}$

$\bf 2)\ \ z^3=27$

$\boldsymbol{a+b\, i=27+0\cdot i\ \ \ \Rightarrow \ \ \ |\, z|=r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{27^2+0^2}=27}$  

$\boldsymbol{\varphi =arccos\dfrac{a}{|z|}=arccos\dfrac{27}{27}=1\ \ ,\ \ \varphi =0}$        

$\bf k=0\ ,\ \ z_0=\sqrt[3]{\bf 27}\cdot \Big(cos\dfrac{0+2\pi \cdot 0}{3}+i\cdot sin\dfrac{0+2\pi \cdot 0}{3}\Big)=3\cdot \Big(cos\, 0+i\cdot sin\, 0\Big)\ .\\\\\boldsymbol{z_0=3\cdot \Big(1+i\cdot 0\Big)=3}$

$\bf k=1\ ,\ \ z_1=\sqrt[3]{\bf 27}\cdot \Big(cos\dfrac{0+2\pi \cdot 1}{3}+i\cdot sin\dfrac{0+2\pi \cdot 1}{3}\Big)=3\cdot \Big(cos\dfrac{2\pi }{3}+i\cdot sin\dfrac{2\pi }{3}\Big)\ .\\\\\boldsymbol{z_1=3\cdot \Big(-\dfrac{1}{2}+i\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}\Big)=-\dfrac{3}{2}\cdot \Big(1-i\, \sqrt3\Big)}$

$\bf{k=2\ ,\ \ z_2=\sqrt[3]{\bf 27}\cdot \Big(cos\dfrac{0+2\pi \cdot 2}{3}+i\cdot sin\dfrac{0+2\pi \cdot 2}{3}\Big)=3\cdot \Big(cos\dfrac{4\pi }{3}+i\cdot sin\dfrac{4\pi }{3}\Big)}\ .\\\\\boldsymbol{z_2=3\cdot \Big(-\dfrac{1}{2}-i\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}\Big)=-\dfrac{3}{2}\cdot \Big(1+i\, \sqrt3\Big)}$  

Ответ:  2В ,   $\boldsymbol{-\dfrac{3}{2}\cdot \Big(1\pm i\, \sqrt3\Big)\ ,\ \ 3\ .}$