Question

Доведіть, що при будь-якому натуральному n значення виразу:
1) $15^n+13$ кратне 7
2) $9^n+5^n-2$ кратне 4
4) $21^n+4^n^+^2$ кратне 17

Answer 1

Доведіть, що при будь-якому натуральному n значення виразу:

1) 15ⁿ+13 кратне 7

2) 9ⁿ+5ⁿ-2 кратне 4

4) 21ⁿ + 4ⁿ⁺²  кратне 17

1) 15ⁿ+13 кратне 7

Поскольку мы проверяем делимость на 7, мы можем отнять от данного числа абсолютно любое число кратное 7

15ⁿ+13 ≡ (15 -2·7)ⁿ + 13 ≡  (15 - 14)ⁿ + 13 ≡ 1ⁿ + 13 ≡ 13 + 1 ≡ 14 ⋮ 7 ⇒

15ⁿ+13  кратно 7

2) 9ⁿ+5ⁿ-2 кратне 4

9ⁿ+5ⁿ-2 ≡ (9 - 2·4)ⁿ + (5 - 4)ⁿ - 2 ≡ 1ⁿ + 1ⁿ - 2 = 2 - 2 ≡ 0 ⋮ 4 ⇒

9ⁿ+5ⁿ-2  кратно 4

4) 21ⁿ + 4ⁿ⁺²  кратне 17

21ⁿ + 4ⁿ⁺² ≡ (21- 17)ⁿ + 16·4ⁿ ≡ 4ⁿ + 16·4ⁿ ≡ 17·4ⁿ ⋮ 17 ⇒

21ⁿ + 4ⁿ⁺²  кратно  17

Answer 2

Доведення.



Пояснення: математична індукція. Писанини багато, але доволі цікаво. Ви не вказали метод. Нехай буде і це.