17. Круг разделен на три части тремя точками относящимися как 2:5:11. Найдите значение маленького угла, появившегося треугольника. A) 70° B) 55° C) 66° D) 60°
Ответы
Пошаговое объяснение:
⋃АВ=2х
⋃ВС=5х
⋃АС=11х
⋃АВ+⋃ВС+⋃АС=360°
2х+5х+11х=360°
18х=360
х=360:18=20
⋃АВ=2•20=40°
⋃ВС=5•20=100°
⋃АС=11•20=220°
вписанный угол равен половине дуги на которую опирается:
∠С=⋃АВ:2=40:2=20°
∠А=⋃ВС:2=100:2=50°
∠В=⋃АС:2=220:2=110°
ответ: маленький ∠С ∆АВС равен 20°
Відповідь:
Значение маленького угла треугольника равно 20°.
Покрокове пояснення:
Круг разделен на три части тремя точками А, В и С относящимися как 2:5:11. В результате точки А, В и С делят круг на три дуги: ВС ( пропорциональная двум единицам ), СА ( пропорциональная пяти единицам ) и АВ ( пропорциональная одинадцати единицам ). Обозначим эту единицу как Х.
Поскольку весь круг составляет 360°, получаем:
2Х + 5Х + 11Х = 360°
18Х = 360°
Х = 360° / 18 = 20°
Получаем градусные меры дуг:
⌒ВС = 20° × 2 = 40°
⌒СА = 20° × 5 = 100°
⌒АВ = 20° × 11 = 220°
Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги на которую он опирается.
∠ВОС = ⌒ВС = 40°
∠СОА = ⌒СА = 100°
∠АОВ = ⌒АВ = 220°
∠АОВ - выпуклый угол ( 180° < ∠АОВ < 360° ). В дальнейших расчетах мы будем использовать ∠(А0В)' невыпуклый угол ( 0° < ∠(АОВ)' < 180° ), который дополняет ∠АОВ до 360°:
∠(АОВ)' = 360° - ∠АОВ = 360° - 220° = 140°
∠(АОВ)' опирается на дугу ⌒АСВ и равен сумме углов опирающихся на дуги ⌒ВОС и ⌒СОА.
∠(АОВ)' = ∠ВОС + ∠СОА
Круг разделен на три части тремя точками А, В и С образующими треугольник АВС. Для нахождения его углов рассмотрим треугольники ∆АОВ, ∆ВОС и ∆СОА - они равнобедренные, поскольку стороны АО = ВО = СО = R круга.
Из ∆АОВ получаем:
∠АВО = ∠ВАО = ( 180° - ∠(АОВ)' ) / 2 = ( 180° - 140° ) / 2 = 40° / 2 = 20°
Из ∆ВОС получаем:
∠ВСО = ∠СВО = ( 180° - ∠ВОС ) / 2 = ( 180° - 40° ) / 2 = 140° / 2 = 70°
Из ∆СОА получаем:
∠АСО = ∠САО = ( 180° - ∠СОА ) / 2 = ( 180° - 100° ) / 2 = 80° / 2 = 40°
Теперь найдем углы треугольника АВС складывая или вычитая углы треугольников ∆АОВ, ∆ВОС и ∆СОА:
∠АВС = ∠СВО - ∠АВО = 70° - 20° = 50°
∠ВСА = ∠ВСО + ∠АСО = 70° + 40° = 110°
∠САВ = ∠САО - ∠ВАО = 40° - 20° = 20°
