Question

Решить уравнение x^5-y^2=52 в целых положительных числах

Answer 1

Лемма:

Любой простой множитель $y^2+20$ либо равен $2,5$, либо равен $1,3,7,9$ по модулю $20$

Доказательство:

Если $p\mid y^2+20$ для $p\neq 2,5$, то $\left(\frac{y}{2}\right)^2\equiv -5\bmod p$, так что

$1=\left(\frac{-5}{p}\right)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{5}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}\left(\frac{p}{5}\right)$

Отсюда следует, что либо $p\equiv 1\bmod{4}$ и $p\equiv 1,4 \bmod{5}$, так что $p\equiv 1,9\bmod{5}$, либо $p\equiv 3 \bmod{4}$ и $p\equiv 2,3\bmod{5}$, так что $p\equiv 7,3\bmod{20} \ \ \square$

Теперь перепишем уравнение $x^5-32=y^2+20$

1. Если $2\mid y^2+20$, то $2\mid x,y$, из чего следует, что $8\left(\frac{x}{2}\right)^5-8= \left(\frac{y}{2}\right)^2+5$, так что $4\mid \left(\frac{y}{2}\right)^2+1$, явное противоречие

2. Если $5 \mid y^2+20$, то по малой теореме Ферма имеем $x-2\equiv x^5-32\equiv y^2+20\equiv 0 \bmod{5}$. Но тогда получается, что $x^4+2x^3+4x^2+8x+16\equiv 5\times 2^4\equiv 0 \bmod{5}$, а из этого следует, что $25\mid x^5-32=(x-2)(x^4+2x^3+4x^2+8x+16)=y^2+20\Rightarrow 25\mid 20$ (так как $5\mid y$), а это противоречие

3. Если $2,5\not | y^2+20$, то, используя лемму, заключаем, что каждый простой множитель $y^2+20$ равен одному из $1,3,7,9\bmod{20}$, так что каждый простой множитель $x^4+2x^3+4x^2+8x+16$ также равен одному из $1,3,7,9\bmod{20}$

Но поскольку $\{1,3,7,9\}$ является подгруппой $\mathbb{Z}_{20}^*$, то отсюда следует, что $x^4+2x^3+4x^2+8x+16$ является одной из $1,3,7,9\bmod{20}$, что является противоречием, так как $x^4+2x^3+4x^2+8x+16\equiv 1\bmod{4}$ и $x^4+2x^3+4x^2+8x+16\equiv 3,7\bmod{5}$ не имеют решений