Question

Для натуральных чисел m и n докажите неравенство
|n*корень(n^2+1) - m| >=корень(2)-1

Answer 1

Начнём мы с того, что докажем $\[|n\sqrt{n^2+1}-m|\geq|n\sqrt{n^2+1}-n^2|\]$. Мы знаем, что $\[n^4 < n^2(n^2+1) < (n^2+1)^2\]$, а значит $\lfloor n\sqrt{n^2+1}\rfloor=n^2$. Тогда, $\left | n\sqrt{n^2+1}-m \right |$ для фиксированного $n$ минимизируется либо при $m=n^2$, либо при $m=n^2+1$. Но

$\[2n^2+1=\sqrt{4n^4+4n^2+1} > \sqrt{4n^4+4n^2}=2n\sqrt{n^2+1}\]$

Тогда $\[n^2+1-n\sqrt{n^2+1} > n\sqrt{n^2+1}-n^2\]$ и, следовательно, $\left | n\sqrt{n^2+1}-m \right |$ минимизируется при $m=n^2$

Теперь мы докажем, что $\left | n\sqrt{n^2+1}-n^2 \right |\geq\sqrt{2}-1$. Заметим, что $n$ возрастает и $\sqrt{n^2+1}-n$ возрастает, поэтому $n\sqrt{n^2+1}-n^2$ также возрастает. Значит, $n\sqrt{n^2+1}-n$ минимизируется при $n=1$, что и требовалось доказать, а значит

$\left | n\sqrt{n^2+1}-m \right |\geq\left | n\sqrt{n^2+1}-n^2 \right |\geq\sqrt{2}-1$